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ANNEAUX & ALGÈBRES

Définis par des axiomes qui dégagent les les propriétés usuelles des opérations d'addition et de multiplication dans les ensembles de nombres ou les polynômes, les anneaux constituent le cadre général dans lequel on peut appliquer les règles du calcul algébrique élémentaire. Nous donnerons dans cet article les définitions générales et des exemples. Pour une étude plus détaillée des anneaux qui interviennent en théorie des nombres ou en géométrie algébrique, nous renvoyons à l'intérieur de ce texte à d'autres articles de l'Encylopædia Universalis.

Définitions

Anneaux

Un anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition internes( x, y )→ x + y et( x, y )→ xy, appelées addition et multiplication respectivement, qui possèdent les propriétés suivantes :

(c) existence d'un élément, noté 0, tel que, pour tout élément x de A on ait :
(d) existence, pour tout x de A, d'un élément, noté − x, tel que :
(g) bien que cela ne soit pas toujours ainsi dans la littérature, nous supposerons l'existence d'un élément unité pour la multiplication, souvent noté 1, tel que :

Les propriétés (a) à (d) expriment que A est un groupe commutatif pour l'addition.

Dans de nombreux exemples, la multiplication est de plus commutative, c'est-à-dire xy = yx ; un tel anneau est alors dit commutatif. Cependant on ne peut pas se limiter à ce cas, car des anneaux importants dans la pratique, les anneaux de matrices par exemple, ne possèdent pas cette propriété ; comme on le verra au début du chapitre, le calcul algébrique dans de tels anneaux réclame quelques précautions. Pour terminer, indiquons qu'un cas particulier très important est constitué par les anneaux dans lesquels tout élément non nul est inversible, c'est-à-dire a un inverse pour la multiplication ; un tel anneau s'appelle un corps.

Un sous-ensemble B non vide d'un anneau A est appelé un sous-anneau, s'il contient l'unité multiplicative et x − y et xy pour tout couple d'éléments x et y de B ; B est alors un anneau pour les restrictions à B de l'addition et de la multiplication.

Algèbres

Nous introduirons maintenant ici une autre structure qui se rencontre dans de nombreuses questions.

Soit K un corps commutatif. On dira qu'un ensemble E est une K-algèbre, ou une algèbre sur K, si c'est un espace vectoriel sur le corps K muni d'une application, noté ici multiplicativement :

qui est bilinéaire, c'est-à-dire linéaire par rapport à chaque facteur pris séparément :
quels que soient les éléments x, y, z de E et les « scalaires » λ et μ appartenant à K. On peut aussi définir une telle structure lorsque K n'est plus un corps, mais seulement un anneau commutatif.

Si la multiplication est associative, on parle d'algèbre associative ; cependant certains auteurs oublient de le préciser et incluent l'associativité dans la définition d'une algèbre, mais précisent quand il n'y a pas associativité.

Homomorphismes d'anneaux et algèbres

Soient A et B deux anneaux (ou deux algèbres) et f une application de A dans B. Conformément aux définitions générales des morphismes, on dira que f est un homomorphisme d'anneau (ou d'algèbre) si f respecte la structure d'anneau (ou d'algèbre) :

(et éventuellement, si A et B sont des algèbres, f (λx) = λf (x) pour tout scalaire λ) pour des éléments x et y quelconques de A ; on impose de plus que l'image par f de l'élément unité de A soit l'élément unité de B. Un cas particulier très important est obtenu lorsque f est une application bijective ; l'application inverse est alors aussi un homomorphisme ; on dit que f est un isomorphisme et que A et B sont des anneaux ou des algèbres isomorphes. Du point de vue de la théorie des anneaux,[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Anneaux et algèbres - crédits : Encyclopædia Universalis France

Anneaux et algèbres

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • ALGÈBRE

    • Écrit par
    • 7 143 mots
    L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans les travaux de l'école allemande du xixe siècle, principalement ceux de Kummer, Kronecker, Dedekind et Hilbert. Au départ, les motivations sont ici essentiellement la théorie des équations puis la théorie arithmétique des nombres algébriques,...

  • BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

    • Écrit par
    • 608 mots
    • 1 média
    Algèbre de Boole - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

    La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités)...

  • BRAUER RICHARD (1901-1977)

    • Écrit par
    • 216 mots

    Mathématicien américain d'origine allemande dont les travaux ont porté principalement sur la théorie des groupes finis. Né à Berlin, Brauer a enseigné à l'université de Koenigsberg, à celle de Toronto (Mi.) et à l'université Harvard.

    Brauer a débuté par d'importants travaux...

  • CLIFFORD WILLIAM KINGDON (1845-1879)

    • Écrit par
    • 413 mots

    Mathématicien et philosophe qui a élaboré la théorie des biquaternions (généralisation de la théorie des quaternions du mathématicien irlandais sir William Rowan Hamilton) et l'a rattachée à des algèbres associatives plus générales. En 1871, Clifford fut nommé professeur de mathématiques au collège...

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