ANNEAUX & ALGÈBRES

Calcul algébrique dans les anneaux

Les règles du calcul algébrique usuel s'appliquent dans les anneaux moyennant quelques précautions dans le cas non commutatif ; par exemple, si x₁, ..., x_m, y₁, ..., y_n sont des éléments d'un anneau A, le produit (x₁+ ... + x_m) (y₁+ ... + y_n) est égal à la somme des mn produits x_iy_j. Mentionnons une importante notation qui montre qu'on peut faire « opérer » l'anneau Z des entiers relatifs sur un anneau A quelconque. Si n est un entier relatif et x un élément de A, on désigne par nx la somme d'une suite de n termes égaux à x si n > 0, l'élément 0 si n = 0 et l'opposé de la somme de n′ = − n termes égaux à − x si n <0 ; il est clair que cette notation possède les propriétés habituelles :

L'exemple des anneaux de Boole montre qu'il peut exister dans certains anneaux des entiers n > 0 tels que n1 = 0 ; on appelle caractéristique d'un tel anneau le plus petit entier n > 0 pour lequel n1 = 0 et on dit qu'un anneau est de caractéristique nulle si n1 ≠ 0 pour tout n > 0. Ainsi tout anneau de Boole est de caractéristique 2, alors que l'anneau des entiers relatifs est de caractéristique nulle ; de manière générale, tout anneau de caractéristique nulle contient une infinité d'éléments (si n et m sont deux entiers relatifs distincts les éléments n1 et m1 sont distincts car (n − m) 1 ≠ 0) et par suite tout anneau ne contenant qu'un nombre fini d'éléments est de caractéristique non nulle. Pour terminer avec les notations, indiquons qu'on désigne par xⁿ, n entier > 0, le produit d'une suite de n termes égaux à x ; il est clair que deux telles puissances de x vérifient :

Remarquons que, si x et y sont deux éléments quelconques d'un anneau A, on a :

Puisque pour n premier tous les coefficients C¹_n, C²_n, C_n^n-1 sont des entiers divisibles par n, il résulte de la formule du binôme que si x et y sont deux éléments qui commutent dans un anneau de caractéristique n premier, on a (x + y)ⁿ= xⁿ + yⁿ ; d'autre part, sous les mêmes hypothèses, on a (xy)ⁿ= xⁿyⁿ. Ainsi dans un anneau commutatif de caractéristique n premier l'application x ↦ xⁿ est un homomorphisme d'anneau.

Dans un anneau quelconque, il n'est pas toujours possible de « simplifier par a » une égalité du type ax = ay. Ainsi, dans un anneau de Boole unitaire, on a toujours x²− x = x (x − 1) = 0 et, par suite, le produit de deux éléments non nuls peut être nul ; de même, dans l'anneau (de caractéristique nulle) des fonctions à valeurs réelles définies sur l'ensemble réunion de deux ensembles X et Y sans point commun, le produit de deux fonctions l'une nulle sur X et non nulle sur Y et l'autre nulle sur Y et non nulle sur X est nul. De manière générale, on dit qu'un élément x ≠ 0 d'un anneau A est un diviseur de zéro (à gauche) s'il existe un élément y ≠ 0 tel que xy = 0. Un cas particulier de cette situation est constitué par les éléments non nuls dont une puissance est nulle (ainsi, dans l'anneau des entiers modulo 4, le carré de la classe du nombre 2 est la classe nulle) ; un tel élément non nul dont une puissance est nulle est appelé un élément nilpotent. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zéro sont dits intègres (on dit aussi qu'un tel anneau est un anneau d'intégrité) ; on peut alors « simplifier »[...]