PROJECTIVES APPLICATIONS

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, P(E) et P(F) les espaces projectifs déduits de E et de F, f une application linéaire de E dans F et N = ker (f) le noyau de f. Comme l'image par f d'une droite de E non contenue dans N est une droite de F, la restriction de f à E—N est compatible avec les relations d'équivalence sur E—N et F′ = F—{0}. On peut donc déduire de f une application g de P(E) — P(N) dans P(F) par passage au quotient. L'application g est dite application linéaire projective ou encore, par abus de langage, application projective de P(E) dans P(F).

Notons que f et λf, où λ est un scalaire non nul, donnent la même application déduite. Réciproquement, si l'on se donne une variété linéaire projective P(N) et une application projective g de P(E)—P(N) dans P(F), toutes les applications linéaires dont g est déduite s'obtiennent à partir de l'une d'entre elles par multiplication par un scalaire non nul. Si l'on considère les applications projectives bijectives de P(E) dans P(F), on voit aisément que :

– les applications linéaires dont une application projective bijective est déduite sont elles-mêmes bijectives ;

– la composée de deux applications projectives bijectives est une application projective bijective ;

– les applications projectives bijectives de P(E) sur P(E) forment un groupe, appelé groupe projectif de P(E) et noté PGL(E) ; lorsque E = Kⁿ⁺¹, ce groupe se note PGL_n(K) ou PGL(n,K) ;

– lorsque les espaces projectifs P(E) et P(F) sont de dimension finie, et si leurs dimensions sont égales, toute application projective injective de P(E) dans P(F) est bijective et donc inversible. De plus, on a le théorème suivant : la donnée dans P(E) d'une famille (π′(f_i) de n + 2 points, formant un repère projectif, et dans P(F) d'une famille (π′(f_i) de n + 2 points, formant un repère projectif, détermine une application projective et une seule de P(E) dans P(F), appliquant π(e_i) sur π′(f_i). De plus, cette application est bijective.

— Jacques MEYER