DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

Approximations d'un irrationnel. Fractions continuées

Dans le plan affine d'axes Ox, Oy, de vecteurs de base OA, OB, soit la demi-droite (OD) d'équation x = τy, avec y ≥ 0 et τ ∈ R. Approcher τ par des rationnels p/q (avec q > 0) revient à approcher (OD) par des points du réseau de base OA, OB. Un point P(p, q) de ce réseau est un point de voisinage à droite pour (OD) si p/q > τ et 0 < p′/q′ − τ < p/q − τ entraîne q′ > q. Même définition à gauche avec τ > p/q et 0 < τ − p′/q′ < τ − p/q. Un point P(p, q) est un point réduit, relativement à (OD) si |p′ − τ q′| < |p − τ q| entraîne q′ > q.

Si τ est rationnel, soit τ = u/v, la demi-droite (OD) porte le point entier P(u, v) et il n'y a plus, au-delà de P, ni de point de voisinage, ni de point réduit pour (OD). Les points antérieurs à P sont donnés par le théorème suivant, qui s'applique sans limitation lorsque τ est irrationnel : Si P_n,k et P_n,k+1 sont deux points de voisinage consécutifs (pour q croissant), d'un même côté de (OD), alors :

a) La demi-droite portant le vecteur P_n,k P_n,k+1 rencontre (OD) en un point D_n+2 (non entier).

b) P_n,k P_n,k+h = h P_n,k P_n,k+1 donne, pour h = 1, 2, ..., les points de voisinage suivant P_n,k, du même côté de (OD), jusqu'au dernier avant D_n+2, soit P_n+2. Ces points sont adjacents deux à deux.

c) OP_n+1 = P_n,k P_n,k+1 et P_n+2 P_n+1,1 = P_n,k P_n,k+1 donnent deux points de voisinages consécutifs, P_n+1 et P_n+1,1, de l'autre côté de (OD), ce qui permet de poursuivre l'opération et d'obtenir tous les points de voisinage au-delà de P_n,k, sur deux lignes polygonales appelées lignes polygonales de Klein relatives à (OD) ; ces lignes forment enveloppe convexe des points entiers situés de part et d'autre de (OD).

d) Seuls les sommets P_n de ces lignes polygonales sont des points réduits.

Ce théorème s'établit par des considérations géométriques très élémentaires. On pose en général P_n-2D_n = α_nOP_n-1 et P_n-2P_n = a_nOP_n-1 ; donc a_n = [α_n], partie entière de α_n. La similitude des triangles OP_nD_n et D_n+1P_n-1O donne alors α_n+1 = 1/(α_n − a_n) et l'on obtient ainsi, géométriquement, le développement en fraction continuée (régulière) de τ :

avec a₀ = [τ] et a_n = [α_n]. Les α_n sont les quotients complets du développement et les a_n, les quotients incomplets.

On écrit alors τ = [a₀, a₁, ..., a_n-1, α_n]et p_n/q_n = [a₀, a₁, ..., a_n+1, a_n], n-nième réduite (qui correspond au point P_n), d'où :

ce qui exprime que P_n-2P_n = a_nOP_n-1. C'est grâce à ces formules de récurrence qu'on calcule les p_n et les q_n connaissant les a_k.

Les résultats essentiels de la théorie de ces fractions continuées sont les suivants : (1) On a :

ce qui montre que l'approximation de τ par une réduite est d'autant meilleure que α_n+1 est grand.

Par exemple π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] donne une excellente approximation classique p₃/q₃ = 355/113. (2) Une condition nécessaire et suffisante pour que deux irrationnels τ et α présentent, à partir de certains indices, les mêmes développements, est qu'ils soient liés par une transformation homographique modulaire, c'est-à-dire σ = (a τ + b)/(c τ + d) avec ad − bc = ± 1 et a, b, c et d entiers. (3) Une condition nécessaire et suffisante pour que τ présente un développement périodique est que τ soit un irrationnel algébrique du second degré (théorème dû à Lagrange).

pour tout n.

Sur deux réduites consécutives, l'une au moins vérifie :

Sur trois réduites consécutives, l'une au moins vérifie :

u/v est une réduite du développement de τ. (6) Si on développe le rationnel a/b en fraction[...]