DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

Approximations des irrationnels algébriques

On dit qu'un irrationnel τ est rationnellement approchable à l'ordre α s'il existe une constante dépendant de τ, soit K(τ), telle que :

ait une infinité de solutions.

On voit sans peine qu'un rationnel u/v est approchable à l'ordre 1 et pas au-delà. D'autre part, les propriétés des fractions continuées montrent que tout irrationnel est approchable à l'ordre 2 au moins et qu'un irrationnel quadratique est approchable à l'ordre 2 et pas au-delà (à cause de la périodicité du développement). Ce dernier résultat est un cas particulier du théorème de Liouville (1844) relatif aux irrationnels algébriques de degré n : si τ est de degré n, il n'est pas approchable à un ordre supérieur strictement à n. En effet, si f (τ) = 0, où f est le polynôme de degré n définissant τ, l'étude de :

donne élémentairement :pour tout rationnel p/q.

Le théorème de Liouville a une grande importance historique, puisqu'il a permis de définir explicitement les premiers nombres transcendants ( nombres de Liouville), grâce à des développements (décimaux ou en fraction continuée) lacunaires tels que :

jusque-là on ne connaissait que l'existence des nombres transcendants (par complémentarité dans R des nombres algébriques) et ce n'est qu'en 1873 que Hermite établit la transcendance de e, permettant à Lindemann d'établir celle de π en 1882.

Le résultat de Liouville a été successivement amélioré par Thue (1908), établissant α ≤ (n/2) + 1, par Siegel (1921) α ≤ 2 √ n, par Dyson (1947) α ≤ √2 n, et, en 1955, à l'aide d'une démonstration très technique, Roth améliorait définitivement le théorème : Tout irrationnel algébrique τ est approchable à l'ordre 2 et pas au-delà. Cela permet d'affirmer par exemple que le développement décimal lacunaire x = 10^-1 + 10^-3 + 10^-9 + ... + 10^-3n + ... représente un nombre transcendant.

La recherche, pour un nombre algébrique τ, de la plus petite constante k(τ), pour laquelle :

a une infinité de solutions, est alors intéressante. Le nombre d'or :a pour réduites les fractions de Fibonacci :et on voit aisément que :ce qui montre que k(α) = 1/√5 (résultat de Hurwitz).

Mais, si l'on excepte le nombre α et ceux qui lui sont équivalents par transformation modulaire, on peut établir que :

Cela rejoint d'ailleurs les chaînes de Markoff-Hurwitz, qui, pour les irrationnels τ, étudient la limite supérieure M(τ) des constantes c telles que |τ − (p/q)| = 1/(cq²) ; on obtient M(τ) = √5 pour le nombre d'or et ses équivalents, puis M(τ) ≥ 2 √2 pour les autres irrationnels, avec M(τ) = 2 √2 pour τ équivalent à 1 + √2, puis M(τ) ≥ √221/5 pour les autres irrationnels, et ainsi de suite, les valeurs successives de M(τ) apparaissant étant données par la formule :

où u = 1, 2, 5, 13, 29, ... est choisi de telle sorte que u² + v² + w² = 3 uvw soit résoluble en entiers.

Citons encore deux résultats sur les approximations asymétriques. Ségré établit, en 1946, que, pour tout r ≥ 0 et pour tout irrationnel τ, il existe une infinité d'approximations p/q telles que :

le cas r = 0 donne la propriété (4) des fractions continuées et le cas r = 1 donne le résultat de Hurwitz. Robinson établit en 1947 que, pour tout ε > 0 et pour tout irrationnel τ, il existe une infinité d'approximations p/q telles que :cela montre qu'on peut renforcer une des inégalités du théorème d'Hurwitz sans affaiblir beaucoup l'autre.