DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

Approximations simultanées

Étant donné k irrationnels τ₁, τ₂, ..., τ_k, on peut soit chercher à les approcher par des fractions p₁/r, p₂/r, ..., p_k/r de même dénominateur (pas obligatoirement toutes irréductibles), soit chercher à rendre

minimum pour des entiers u_i et w. Ces deux problèmes duals l'un de l'autre sont également délicats. Le premier problème a été étudié initialement par Hermite, le second par Dirichlet. Une variante non homogène du deuxième problème consiste à rendreminimum, σ étant donné non entier.

Un algorithme de Jacobi généralise pour les irrationnels l'algorithme des fractions continuées. Il correspond, pour k = 2, à :

où a_n = [α_n]et b_n = [β_n], avec a₀ = [τ] et b₀ = [σ].

Cela, géométriquement, ramène le premier problème d'approximation simultanée à l'exploration des points de Z³ autour de la demi-droite (OD) portant le vecteur de composantes (τ, σ, 1). On obtient une suite de points liés par la récurrence OP_n = OP_n-3 + b_n OP_n-2 + a_n OP_n-1 et beaucoup de formules généralisent ce qui a été vu pour les fractions continuées. Malheureusement, si la convergence des réduites peut s'établir d'une manière générale, |p − τ r| et |q − σ r| ne tendent pas toujours vers zéro. D'autre part, si on veut essayer de définir des points de voisinage, on doit tenir compte simultanément de |τ − p/r| et |σ − q/r|, ce qui peut se faire par leur borne supérieure, leur somme, la somme de leurs carrés, et bien d'autres manières qui ne sont pas équivalentes entre elles. C'est pourquoi Hermite a pu dire que ce problème n'avait cessé, durant cinquante ans, de le préoccuper et de le désespérer.

Lorsqu'un développement de Jacobi pour k = 2 est périodique, il est facile de voir que τ et σ sont deux éléments, non liés linéairement, d'un même corps cubique. La réciproque n'a pu être établie jusqu'à présent. Tout au plus peut-on dire, avec David (1956), que pour certains algorithmes voisins (où l'on prend par exemple a′_n = a_n+1 ou b′_n = b_n + 1) cette réciproque est inexacte. Il n'en reste pas moins que d'intéressants résultats ont été obtenus par Perron grâce à l'algorithme de Jacobi, sur l'approximation de n entiers algébriques d'un corps de degré (n + 1).

Indépendamment de tout algorithme et par une simple application du « principe des tiroirs » de Dirichlet (Si n + 1 objets sont dans n tiroirs, l'un au moins de ces tiroirs contient plus d'un objet) on démontre qu'il y a au moins une solution au système |τ_i − p_i/r| < 1/r^1+ε, où ε = 1/k. Ce résultat de Kronecker est sans grand intérêt dès que k dépasse 3. Par dualité, on en déduit que :

a des solutions entières u_i et y, non toutes nulles, avec sup |u_i| = t.

Une étude plus précise de Khintchine lie l'indice ω₁ de u₁τ₁ + u₂τ₂ + ... + u_kτ_k − y (c'est-à-dire la borne supérieure des ω tels que cette forme soit approchable à 1/t^k+ω près) à l'indice ω₂ des k nombres τ_i (c'est-à-dire la borne supérieure des ω tels que chaque τ_i soit approchable à 1/t^1+(1+ω)/k près).

On a :

Le cas non homogène (étude de |τ p −  q − σ|, ou, plus généralement, de |τ₁u₁ + τ₂u₂ + ... + τ_ku_k − w − σ|) a permis à Tchebycheff, Kintchine, Kronecker, Hermite et Minkowski d'obtenir des résultats analogues à ceux du cas homogène.

Signalons enfin d'intéressantes études sur l'approximation d'un nombre complexe α + iβ par le quotient P/Q de deux entiers de Gauss (Hermite, en liaison avec les formes quadratiques, Minkowski, Perron, Hurwitz en particulier). Un résultat essentiel est qu'il y a une infinité de solutions à

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