DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

Théorème de Minkowski et applications

Dans sa Géométrie des nombres, Minkowski établit en 1910 l'important théorème : Soit dans Rⁿ un domaine S convexe, borné, symétrique par rapport à O et de volume supérieur à 2ⁿ (ou égal à 2ⁿ si ce domaine est fermé). Ce domaine contient au moins un point entier distinct de O (il contient donc aussi son symétrique par rapport à O).

La démonstration utilise l'homothétique S′ de S dans l'homothétie (0, 1/2). Pour un entier m assez grand, soit le réseau (Z/m)ⁿ des points de coordonnées x_i = u_i/m où u_i∈ Z. Soit N(m) le nombre d'hypercubes de côtés 1/m de ce réseau qui sont dans S′. On a N(m) × m^s aussi voisin qu'on veut de 1/2ⁿ . V(S) pour m assez grand et cela permet d'affirmer l'existence de deux sommets où les u_i′ et u_i″ sont congrus modulo m, pour i = 1, 2, ..., n. Le vecteur joignant ces deux sommets est donc un point entier, car (u_i′ − u_i″)/m est entier, qui appartient à S′ + S′ = S.

L'application essentielle de ce théorème concerne la résolution des systèmes d'inéquations diophantiennes :

pour i = 1, 2, ..., n, où les α_i^j sont réels donnés, ainsi que les λ_i, et dont on cherche des solutions entières non banales (x_i entiers non tous nuls). Ces inéquations définissent une jauge de Minkowski (c'est ainsi qu'on appelle les domaines S définis ci-dessus) dont le volume est 2ⁿλ₁λ₂ ... λ_n/|Δ|, où Δ est le déterminant des α_i^j. On peut donc affirmer que, si λ₁λ₂ ... λ_n≥ |Δ|, il y a des solutions entières, autres que le point O, au système des n inéquations. En particulier, on retrouve le résultat de Kronecker : le système de n inéquationsest résoluble pour ε = 1/n ; en effet, cela s'écrit :système de (n + 1) inéquations résoluble puisque la condition de Minkowski est ici réalisée :

On peut d'ailleurs, si les α_i^j sont entiers, appliquer ces résultats à des systèmes d'équations linéaires, car :

équivaut à :si les u_i^j sont entiers et si l'on cherche à résoudre en entiers x_i.

Le théorème de Minkowski s'étend de plus au cas complexe, à condition que les inéquations du système soient réelles ou imaginaires conjuguées 2 à 2 (avec alors le même λ_i pour ces deux inéquations). Il vient encore la condition λ₁λ₂ ... λ_n≥ |Δ|, suffisante pour entraîner l'existence de solutions entières autres que le point O. C'est sous cette forme que le théorème permet la démonstration d'un important théorème de Dirichlet sur l'existence des unités dans une extension algébrique de Q.

On peut aussi appliquer le théorème des jauges de Minkowski en définissant celles-ci par :

où L_i = α_i¹x₁ + ... + α_iⁿx_n. On démontre ainsi que les deux inéquations :ont l'une et l'autre des solutions non banales, car :

On peut toutefois noter que, contrairement au cas des inéquations, où la condition |λ₁ λ₂ ... λ_n| ≥ |Δ| ne peut être améliorée d'une manière générale, on peut parfois améliorer les résultats ci-dessus. Par exemple, pour n = 2, on peut affirmer que l'inéquation |L₁L₂| ≤ |Δ| √5 admet toujours des solutions non banales.

La réduction des formes quadratiques utilise aussi le théorème de Minkowski, appliqué à L₁² + L₂² + ... + L_n².

Blichfeldt (1914) a étendu à d'autres domaines que des jauges les méthodes de Minkowski ; ces recherches ont été poursuivies par Mordell, Davenport et Mahler.