ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli

Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur. Il s'accompagne d'une préface rédigée par son neveu Nicolas Bernoulli, juriste, qui s'inspirera des découvertes de son oncle pour supputer dans sa thèse de droit sur « la probabilité de la vie humaine ou du temps de vie de tout homme ».

La conception d'Ars conjectandi doit beaucoup aux découvertes du mathématicien et physicien néerlandais Christiaan Huygens, qui avait publié en 1657 De ratiociniis in ludo aleae (« Sur le calcul dans les jeux de hasard »), que l'on considère souvent comme le premier livre sur les probabilités. Dans la première partie de son ouvrage, Jacob Bernoulli expose d'ailleurs les résultats de Huygens et résout les questions posées explicitement à la fin de ce traité. Dans la deuxième partie, Bernoulli étudie l'analyse combinatoire qu'il applique dans la troisième partie au calcul des chances dans les jeux de cartes ou de dés qui étaient alors très populaires. Enfin, dans la quatrième et dernière partie, il s'attache à démontrer comment cette technique mathématique devrait être appliquée aux processus de décisions dans des domaines aussi variés que la politique, la justice, le commerce et même la vie personnelle.

La grande nouveauté de l'approche de Bernoulli est de comprendre une probabilité comme un degré mesurable de certitude. Il introduit le premier ce qu'il est convenu d'appeler la « loi des grands nombres », qui fonde la technique des sondages en stipulant qu'une moyenne effectuée sur un échantillon s'approche de la moyenne sur tout l'ensemble lorsque la taille de l'échantillon croît. C'est dans Ars conjectandi qu'apparaissent pour la première fois les « nombres de Bernoulli », une suite de nombres rationnels reliés à l'expression de la somme des puissances énièmes des k premiers entiers (1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+...+kⁿ).

— Bernard PIRE