CAYLEY ARTHUR (1821-1895)
Définition des groupes abstraits finis
La richesse de l'approche de Cayley apparaît dès ses premiers travaux sur la théorie des groupes (1854). Jusque-là, seuls les groupes de substitution étaient utilisés. Cayley, abordant les travaux de Galois, Gauss et Cauchy avec les méthodes des algébristes anglais, donne une définition des groupes abstraits ; en fait, sa définition ne convient que pour les groupes finis. Pour Cayley, un groupe est un ensemble de « symboles », dans lequel est définie une opération de multiplication et ce sont les produits de deux éléments qui constituent les éléments du groupe ; cette opération est supposée associative mais pas nécessairement commutative ; le groupe est supposé contenir un élément unité et, en multipliant le groupe entier par un élément quelconque (à droite ou à gauche), on doit retrouver ce même groupe. Toujours en 1854, Cayley montre, ce que ses prédécesseurs avaient seulement pressenti, que la structure ainsi définie peut avoir plusieurs représentations ; et cela le conduit à la notion d'isomorphisme.
Cayley a introduit des notions permettant une étude plus approfondie des groupes. C'est ainsi qu'il démontre que l'on peut exprimer la structure des groupes finis par plusieurs relations, dites de nos jours relations fondamentales. Dans le même but, il construit en 1854 des tables de multiplication. Ces deux outils ont rendu possible la détermination de différents groupes d'ordre donné ; les résultats de Cayley ont suscité de nombreux travaux sur le nombre de groupes différents d'ordre donné.
Bien que très vite les études sur les groupes abstraits se soient considérablement développées, la définition de Cayley devait rester sans écho et Cayley lui-même se contentera par la suite d'une détermination plus intuitive et moins précise de cette structure fondamentale.
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Lubos NOVY : professeur à la faculté des sciences de Prague
Classification
Autres références
-
COMBINATOIRE ANALYSE
- Écrit par Dominique FOATA
- 5 426 mots
- 2 médias
Soit An l'ensemble de tous les arbres possibles de n sommets numérotés 1, 2, ..., n. Cayley fut le premier à démontrer que l'on a |An| = nn-2. Or ce nombre est précisément le cardinal de l'ensemble Hn de tous les (n − 2)-uples (x1, x2, ..., xn-2) où les xi sont pris... -
GÉOMÉTRIE
- Écrit par François RUSSO
- 10 631 mots
- 4 médias
...purs, les transformations apparaissent surtout comme un instrument de démonstration, tout spécialement chez Chasles. Mais les mathématiciens qui, comme Arthur Cayley (1821-1895) notamment, s'intéressent surtout à l'analyse et à l'algèbre, s'attachent à leurs aspects d'invariance. Ainsi s'amorce entre l'algèbre... -
GRAPHES THÉORIE DES
- Écrit par Hervé RAYNAUD
- 3 604 mots
- 10 médias
Le problème des quatre couleurs, décrit pour la première fois par le mathématicien anglais A. Cayley en 1879 dans le volume I des comptes rendus de la Société royale de géographie, est de ceux que Franck Harary appelle graphical disease. -
SYLVESTER JAMES JOSEPH (1814-1897)
- Écrit par Encyclopædia Universalis
- 413 mots
Mathématicien anglais, né et mort à Londres, qui a créé avec Arthur Cayley la théorie des invariants algébriques.
En 1838, James Joseph Sylvester devint professeur de philosophie naturelle au collège de l'université de Londres. En 1841, il accepta la chaire de mathématiques de l'université...
