AUTOMATIQUE

Modèles non linéaires

La modélisation est un problème épineux, car pour savoir modéliser des systèmes électriques, mécaniques, thermiques, hydrauliques et autres, il faudrait être tout à la fois électricien, mécanicien, thermicien, hydraulicien, etc. Aussi une bonne modélisation est-elle souvent le fruit d'une collaboration entre l'automaticien et un ou plusieurs spécialistes des disciplines que nous avons citées ; encore le premier doit-il avoir une culture scientifique suffisamment large pour pouvoir entretenir avec les seconds un dialogue fécond. Considérons un cas simple, celui du pendule inversé de la figure 1 (dont le comportement n'est pas sans rapport avec celui d'une fusée au moment du décollage).

Ce pendule est constitué d'un chariot de masse M sur lequel s'articule une tige de longueur l terminée par une masse m. Les frottements et la masse de la tige sont supposés négligeables et la masse m est supposée ponctuelle. On agit sur ce pendule inversé au moyen d'une force f s'appliquant au chariot qui se meut horizontalement. Il s'agit d'un système holonôme (cf. mécanique analytique) dont les coordonnées généralisées q₁ et q₂ sont respectivement y (l'abscisse du chariot) et θ (l'angle que fait la tige avec la verticale). L'énergie cinétique du chariot est T₁ = (M/2)ẏ² (où ẏ = dy/dt est la dérivée de y par rapport au temps t), tandis que celle de l'ensemble (tige+masse) est T₂ = (m/2)(ẏ₁² + ż₁²), où y₁ et z₁ désignent respectivement l'abscisse et l'ordonnée de la masse m, à savoir y₁ = y + l sin θ et z₁ = l cos θ.

L'énergie cinétique du pendule est T = T₁ + T₂ ; son énergie potentielle est celle de la masse m, c'est-à-dire U = mgl cos θ, où g est l'accélération de la pesanteur. Le Lagrangien est L = T — U et les équations de Lagrange qui régissent le mouvement s'écrivent

avec, dans le cas présent, i ∈ {1, 2} et où Q_i est la force généralisée externe (c'est-à-dire ne dérivant pas du potentiel U) suivant q_i. Ici, Q₁ = f et Q₂ = 0, et on obtient donc les équations du pendule :

Le système d'équations (1) est de la forme générale

F(w, ẇ, ..., w^(α)) = 0, (2) où w est le vecteur dont les composantes w₁, ..., w_k sont les variables du système considéré. La fonction F est généralement vectorielle, ayant r composantes si l'entier r désigne le nombre d'équations. Le système défini par (2) est dit stationnaire si les coefficients mis en jeu par la fonction F sont constants, et sinon instationnaire.

Modèles linéaires

Soit Σ le système défini par (2), et supposons-le stationnaire. Un point w^* = [w₁^* ... w_k^*]est un point d'équilibre de Σ si F(w^*, 0, ..., 0) = 0. Dans le cas du pendule inversé régi par (1), cette égalité entraîne f ^* = sin θ ^* = 0. Ce système admet donc une infinité de points d'équilibre : y^* quelconque, θ ^* = 0 (modulo π) et f ^* = 0. Bien entendu, le pendule est en « position inversée » pour θ ^* = 0 (modulo 2π).

Le système Σ est dit linéarisable autour du point d'équilibre w^* si F est différentiable dans un voisinage de (w^*, 0, ..., 0). Soit alors Δw un « petit accroissement », dans le sens où Δw et ses dérivées jusqu'à l'ordre α sont « petits ». L' approximation linéaire de Σ autour de w^* s'obtient en remplaçant dans (2) la fonction F par son développement de Taylor au premier ordre au voisinage de (w^*, 0, ..., 0). On obtient alors le système linéaireΣ_l d'équation

Par exemple, en linéarisant (1) autour de (y^* = 0, è ^* = 0, f ^* = 0), on obtient les équations du pendule inversé linéarisé :

Revenons à la linéarisation du système (2) en[...]