AUTOMATIQUE
5 Identification
Il existe de nombreuses approches pour identifier un système, dont l'une des plus pertinentes est l'identification paramétrique. C'est à celle-ci que nous limiterons le bref exposé qui suit. Les systèmes considérés sont linéaires stationnaires à temps discret. Ils sont supposés être des filtres causaux et stables, représentés par leur « fonction de transfert » F(q—1) [où q—1 est l'opérateur de retard], qui est à interpréter ici comme l'opérateur de convolution associé. Considérons le modèle M défini par
y(t) = G(q—1, θ) u(t) + H(q—1, θ) w(t) (23)
où le vecteur de paramètres θ est une variable aléatoire à valeurs dans ℝN et w est un bruit blanc à temps discret (c'est-à-dire une suite de variables aléatoires réelles, indépendantes et centrées, de variance E[w(t)2] = σ2 : cf. calcul des probabilités) ; on suppose que le filtre G(q—1, θ) est strictement causal, que H(q—1, θ) est bicausal, bistable et vérifiant H(0, θ) = 1 (ceci sans perte de généralité grâce au « théorème de factorisation spectrale causale directe et inverse ») et que w(t) est indépendant de θ et des entrées u(ô) [cette dernière hypothèse excluant le cas où l'on identifie un système en boucle fermée] ; G et H sont des fractions rationnelles. Soit le système à identifier Σ ayant pour équation
y(t) = Ĝ(q—1) u(t) + Ĥ(q—1) w(t), où Ĥ(0) = 1.
Ce système est dit identifiable à l'aide du modèle M s'il existe une valeur uniquevθ de θ telle que G(q—1, vθ) = Ĝ(q—1) et H(q—1, vθ) = Ĥ(q—1).
Soit Ft—1 la tribu engendrée par les variables aléatoires y(t — i), u(t — i), i = 1, et soit la prédiction optimaleŷ(t | t — 1) = E [y(t) | Ft—1, θ]. Intuitivement, il s'agit de la meilleure prédiction que l'on puisse faire à l'instant t de y(t) sur la base du modèle M, connaissant uniquement les entrées et les sorties passées, et sous l'hypothèse que le paramètre a pour valeur θ. On montre que
La méthode d'identification consiste à minimiser.
dont le second membre est linéaire par rapport à θ, de la forme tΦ(t — 1)θ ; l'expression (25) est appelée une régression linéaire et le modèle M défini par (23) est dit de type « ARX ». Dans ce cas, la minimisation de Jt(θ) est le « problème des moindres carrés » dont la solution est le résultat d'un calcul explicite qui peut être mis sous forme récursive.
Soit eθ (t) la valeur de θ pour laquelle le critère Jt(θ) est minimum (en supposant que cette valeur existe et soit unique). Supposons le système Σ identifiable à l'aide du modèle M et soit vθ la « vraie valeur » du paramètre. L'estimateur eθ(t) est dit consistant si
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Écrit par
- Hisham ABOU-KANDIL : professeur des Universités
- Henri BOURLÈS : professeur titulaire de chaire (Chaire d'automatisme industriel, Conservatoire national des arts et métiers)
Classification
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