AUTOMATISATION

Sous-ensembles flous

Un sous-ensemble flou A se déduit d'un ensemble X par une fonction d'appartenance qui associe à chaque élément x de X le degré f_A(x), compris entre 0 et 1, avec lequel x appartient à A. Si f_A(x) ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1, A est un sous-ensemble classique.

Si on constitue un sous-ensemble des éléments x pour lesquels f_A(x) a une valeur α, comprise entre 0 et 1, on a défini une α-coupe de A, et cette coupe est un sous-ensemble classique. On définit le support de A comme étant la partie de X pour laquelle f_A(x) n'est pas nulle et la hauteur de A comme la plus grande valeur prise par f_A(x). Si la hauteur atteint 1, A est dit normalisé. À partir de ces définitions et de quelques autres, notamment le produit cartésien, on a transposé l'algèbre des ensembles classiques à celle des sous-ensembles flous en associant les fonctions d'appartenance et en déterminant les propriétés des α-coupes, qui sont des sous-ensembles classiques.

Relation floue

La notion de relation floue entre ensembles généralise la notion de relation classique définie sur les ensembles. Une relation floue R entre deux ensembles de référence X et Y peut être représentée par une fonction caractéristique χ_R définie sur le produit cartésien X ⊗ Y avec χ_R(x, y) = 1 si x et y sont en relation par l'intermédiaire R, et avec χ_R(x, y) = 0 dans le cas contraire. S'il existe une liaison entre les éléments x et les éléments y qui soit imprécisément connue, ou graduelle, et que x et y aient une appartenance approximative à X et Y, cette liaison n'est pas représentable par une relation classique. On définit donc une relation floue R en assouplissant la définition de la fonction caractéristique χ_R classique. La relation floue entre X et Y sera un sous-ensemble flou de X ⊗ Y, de fonction d'appartenance f_R.

Théorie des possibilités

Elle permet de formaliser des incertitudes subjectives sur des événements, c'est-à-dire dans quelle mesure la réalisation d'un événement est possible et dans quelle mesure on en est certain, sans avoir à sa disposition l'évaluation de la probabilité de cette réalisation (par exemple, on ne connaît aucun événement analogue, ou, par manque de moyens d'observation, on ne dispose d'aucune mesure).

Étant donné un ensemble de référence X, on attribue à chaque événement défini sur X, c'est-à-dire à tout élément de l'ensemble P(X) des sous-ensembles ordinaires de X, un coefficient π compris entre 0 et 1 évaluant à quel point cet événement est possible. On définit une distribution de possibilité. Prenons par exemple un ensemble de référence X : mes comportements en face de ceux de mon voisin, et un élément défini sur l'ensemble : je ne le dénonce pas à la police bien qu'il ait tenté de voler ma voiture. Cet élément est une possibilité, mais il aurait pu être nécessaire de le dénoncer à la police.

Comme une mesure de possibilité ne donne qu'une information sur l'occurrence d'un événement A relatif à un ensemble de référence X, mais ne suffit pas pour décrire l'incertitude existante sur cet événement, il faut compléter l'information. On indique le degré avec lequel la réalisation de A est certaine, par l'intermédiaire d'une mesure de nécessité, grandeur duale d'une mesure de possibilité. Elle attribue un coefficient N, compris entre 0 et 1, à toute partie de X, mais elle possède des propriétés différentes de celles d'une mesure de possibilité.

Prenons, par exemple, l'ensemble de référence X : mes comportements en face de ceux de mon voisin, et l'élément défini sur l'ensemble : je le dénonce à la police car il a tenté de voler ma voiture. Ce n'est plus une possibilité mais une nécessité, quand il n'y a pas d'autres méthodes dissuasives dans ce cas particulier.

Plus un événement est nécessaire, moins l'événement complémentaire est possible. On écrit N(A) = 1 — π (A^c), A^c étant le complément de A.

Les distributions de possibilité et de nécessité se distinguent de celles de probabilité du fait qu'elles relèvent de mesures floues, lesquelles font appel à des fonctions de croyance et de plausibilité, alors que les distributions de probabilité font appel à des épreuves, c'est-à-dire à des mesures exactes. Par exemple, les cas de propriétaires qui dénoncent leur voisin parce qu'il tente de voler leur voiture sont répertoriés par la police et les occurrences peuvent être étudiées statistiquement. On peut calculer une distribution de probabilité.

Variable linguistique

Zadeh a introduit la notion de possibilité à propos de la caractérisation de variables par des descriptions linguistiques imprécises, représentées par des sous-ensembles flous. Il a créé la notion de variable linguistique et de proposition floue avec la distribution de possibilité associée à une proposition floue.

Une variable linguistique est un triplet (V, X, T_V), dans lequel V est une variable définie sur un ensemble de référence X et T_V est un ensemble contenant des sous-ensembles flous normalisés de X utilisables pour caractériser V.

Par exemple, si V est la surface d'un appartement que l'on veut décrire et X l'ensemble des nombres entiers réels positifs, les sous-ensembles flous sont T_V = {minuscule, petite, moyenne, grande, immense}. La surface définie par ces mots sera placée dans un des T_V, ce qui lui donne une expression numérique floue.

Raisonnement en logique floue

Le raisonnement de la logique classique ne s'applique pas à la logique floue. En effet, en logique classique, des propositions telles que p ou q ne peuvent avoir que deux valeurs de vérité : le vrai ou le faux. Des opérateurs dont les principaux sont la conjonction (ET), la disjonction (OU), la négation (NON), et la règle de déduction ci-après : si p implique q vrai, et p vrai, alors q vrai (prémisse vraie : modus ponens), si p implique q vrai, et q faux, alors p faux (conclusion fausse : modus tollens) constituent les fondements de la logique classique.

Mais, en logique floue, l'incertain est présent. Il faut donc traiter trois valeurs possibles : le vrai, le faux et l'incertain. Certains auteurs ont proposé de donner à l'incertain une valeur intermédiaire (logiques ternaires) standard, mais l'école de Zadeh a proposé des règles de raisonnement en logique floue plus subtiles : donner à l'incertain une quantification floue. La logique floue définit des implications floues et un modus ponens généralisé. De même, on propose un raisonnement en logique possibiliste fondé sur le modus ponens et le modus tollens possibilistes.

Application de la logique floue à la commande

En se référant à la structure générale des processus d'action (chap. 2 et ), on remarque qu'il est concevable d'introduire la notion de flou dans l'information de commande et ses critères, son traitement et le modèle. En revanche, il est habituel que l'information d'état provenant de capteurs soit non floue, de type numérique ou analogique. Il y a donc passage du flou (fuzzy en anglais) au non-flou, opération que les spécialistes appellent « défuzzification ». La transposition de cette structure au cas où l'information de commande, les critères et le modèle sont flous s'applique à la notion de bases de connaissances en intelligence artificielle dans la commande des processus.

La commande floue est plus simple, plus rapide et plus efficace dès lors que la modélisation est très complexe ou incertaine et qu'elle peut être remplacée par ce que l'on pourrait appeler des témoignages d'experts, et que l'on ne dispose que d'informations imprécises. On constate aussi qu'elle est moins sensible aux perturbations, plus économe en énergie que la commande classique.

L'interface avec le non-flou peut être réalisée avec les réseaux de neurones.

Parmi les applications de la logique floue en automatisation, on peut citer :

– la transposition en flou du classique régulateur P.I.D. (proportionnel intégral différentiel), analogique, sujet au phénomène de saturation lorsque l'écart entre la consigne et le signal de contre-réaction est important (un P.I.D. analogique saturé se comporte comme un régulateur tout ou rien dont l'amortissement est faible) ; en réalisation « flou », l'amortissement du P.I.D. est assuré même en cas d'écart important ;

– le réglage du recyclage des fines de criblage des agglomérés dans une chaîne d'agglomération (exemple type de maîtrise des instabilités complexes causées par le concept de recyclage, à partir de prédictions d'opérateurs expérimentés, sans modélisation mathématique) ;

– le réglage du programme de machines à laver, la régulation de température des douches, etc. ;

– la stabilisation de l'image de caméscopes, par comparaison de l'image actuelle à la précédente et décision floue sur l'origine du « bougé » (tremblement de la main ou mouvement du sujet ?) ;

– la gestion de batteries d'ascenseurs ;

– plusieurs prototypes de commande automatique et personnalisée de boîtes de vitesses d'automobiles ;

– le pilotage de rames de métro et d'hélicoptères.

Des microprocesseurs réalisant des algorithmes de déduction floue et des logiciels de développement sont commercialisés.

La classification par un réseau de neurones

Supposons que l'on désire classer des « formes » en deux catégories (A ou B) en fonction de certaines caractéristiques de ces formes, on peut définir une fonction ϕ qui prend la valeur + 1 pour toutes les formes de la classe A et — 1 pour toutes les formes de la classe B. On peut démontrer que cette approximation constitue une probabilité d'appartenance de la forme inconnue à la classe A.

Les classifieurs à réseaux de neurones fournissent cette information très riche, qui est loin d'être une simple réponse binaire. Ils ont la forme de réseaux non bouclés et l'ajustement de leurs paramètres se fait par « apprentissage ».

L'apprentissage consiste à calculer les coefficients de telle manière que les sorties du réseau de neurones soient, pour les exemples utilisés lors de l'apprentissage, aussi proches que les sorties désirées, lesquelles, dans le cas d'une classification, sont la reconnaissance de la classe d'appartenance.

Les algorithmes d'apprentissage sont généralement des algorithmes d'optimisation : ils cherchent à minimiser une fonction « de coût » qui mesure l'écart entre les réponses réelles et les réponses optimisées. L'optimisation se fait de manière itérative. Il existe des algorithmes d'optimisation non linéaire extrêmement rapides qui permettent de faire des développements industriels sur de simples ordinateurs de bureau. Ces algorithmes sont génériques, c'est-à-dire indépendants de la structure du réseau. Un classifieur connu, le Perceptron, est réalisé en réseau de neurones.

Dans l'exemple de cet article, le classement des fruits sera obtenu à partir d'images, grâce à trois traitements logiciels : le premier, « extraction de contour », qui détermine le calibre, comporte une définition floue de ce calibre ; le deuxième, « codage de la couleur », s'intéresse à la maturité des fruits ; le troisième, qui détectera la « présence de taches brunes », comporte une définition floue de la tache. Les sorties seront au nombre de sept.

Il doit rester clair que ces traitements, formant un ensemble neuronal, se font à partir de variables mises en forme, c'est-à-dire traduites en signaux numériques, et nullement en éléments appartenant à des sous-ensembles flous. Le traitement « flou », qui transcrit l'expertise de l'opérateur (calibre, maturité) en variables linguistiques, puis en formes, ne peut se faire qu'en amont. Les réseaux de neurones sont incapables de traiter de manière satisfaisante des données linguistiques. Peut-on vraiment parler de commande neuro-floue sans abus de langage ?

Réalisation et application des réseaux de neurones

L'arrivée sur le marché de microprocesseurs très performants a donné de puissants moyens de réaliser économiquement des réseaux de neurones très efficaces implantés sur des cartes à microprocesseurs. Les réalisations de neurones électroniques en circuits V.L.S.I., c'est-à-dire à très large intégration, spécifiques, restent exceptionnelles.

Une application classique des réseaux de neurones est la reconnaissance des formes : lettres, voix, images. Ils sont donc utilisés en vision industrielle et en robotique. Ils sont aussi employés en automatisme industriel, notamment pour la modélisation en commande des processus. Ils peuvent se trouver associés à la logique floue mais ne peuvent traiter directement les données linguistiques issues d'une expertise imprécise.

Leurs principales applications sont :

– la réalisation du classique régulateur P.I.D. handicapé par les phénomènes de saturation en cas de grandes erreurs ; l'appareil est réglé pour une utilisation donnée par apprentissage à partir d'un modèle réalisant les conditions de fonctionnement souhaitées (réseau à 16 neurones en couche intermédiaire) ;

– la modélisation de l'actionneur d'un bras de robot ;

– la recherche et l'élimination des inclusions de pièces de cuivre dans la ferraille destinée au four à arc de sidérurgie ;

– la surveillance de la coulée continue d'acier (prévention des criques) ;

– la conduite de machines utilisées dans l'industrie du papier ;

– la régulation de four à arc de sidérurgie ;

– la modélisation d'un processus de calcination ;

– l'asservissement d'un véhicule à une trajectoire de consigne.

Une discipline, le « neuromimétisme », regroupe les connaissances relatives aux neurones formels et leurs applications ; l'adjectif neuromimétique qualifie les réseaux et les systèmes qui en relèvent.