AXIOMATIQUE

La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique mathématique pour les problèmes posés par l'étude des systèmes d'axiomes.

L'axiomatique commence par un inventaire exhaustif de toutes les propositions que l'on admet sans démonstration et qui ne sont pas des définitions ; ces propositions, appelées axiomes, ou parfois postulats, constitueront le point de départ de la théorie que l'on se propose d'édifier. Parmi les axiomes d'une théorie figurent des règles de déduction (appelées aussi axiomes de la logique) qui sont communes à toutes les sciences déductives. À partir de ces données, on s'astreint à démontrer les autres résultats, ou théorèmes, de la théorie considérée, en proscrivant toute affirmation non issue des axiomes ; en particulier, tout recours à l'expérience sensible ou au sentiment subjectif est à rejeter.

Les mots, signes ou termes qui interviennent dans la rédaction des axiomes sont dépouillés de la signification qu'ils peuvent avoir dans le langage courant ; ainsi D. Hilbert pouvait affirmer, dans une boutade célèbre : « Au lieu des mots : points, droites, plan, en géométrie, on doit pouvoir dire sans inconvénient : tables, chaises, verre de bière ! » De même, la réalité métaphysique des objets mathématiques n'est pas prise en considération ; seules comptent les relations explicitement précisées par les axiomes entre les signes représentant ces objets, eux-mêmes explicitement précisés par les axiomes.

Origines de l'axiomatique mathématique

L'axiomatique considérée comme mode idéal de rédaction d'un traité scientifique est une conception de la mathématique grecque : les Éléments d' Euclide constituent, à cette époque (iii^e s. av. J.-C.), la tentative la plus audacieuse de réaliser cet idéal. L'exécution de ce vaste programme laisse cependant bien à désirer.

Ainsi, dès la première démonstration des Éléments, Euclide, traçant deux circonférences de rayon AB et de centres respectifs A et B, parle de leurs points d'intersection ; il affirme ainsi implicitement que ces deux circonférences se coupent, ce qui ne résulte nullement des axiomes énoncés initialement.

Il n'en est que plus remarquable qu'Euclide ait vu clairement l'importance du postulat, qui porte son nom, sur l'unicité de la parallèle ; dans ce cas, il adopte une attitude réellement axiomatique, en se gardant soigneusement d'invoquer l'expérience sensible.

L'œuvre d'Euclide a profondément influencé ses continuateurs. Archimède, par exemple, s'astreint à présenter les lois de l'équilibre du levier sous forme axiomatique ; dans le domaine des mathématiques, il dégage l'importance de l'axiome, dit d'Archimède, qui est à la base de la théorie de la mesure des longueurs : « Si deux segments sont donnés, il y a toujours un multiple du plus petit qui dépasse le plus grand. » En fait, cet axiome était déjà implicitement contenu dans la quatrième définition du cinquième livre des Éléments d'Euclide.

Malgré ces préoccupations des mathématiciens grecs, il faut attendre la fin du xix^e siècle pour que l'étude et l'édification des géométries non euclidiennes dégage le caractère abstrait, et dans une certaine mesure arbitraire, de l'axiomatique et montre la relativité de la notion de vérité en mathématiques.

On doit à G.  Peano (1858-1932) et à R.  Dedekind (1831-1916) un exposé axiomatique de la théorie des nombres entiers ; désirant caractériser axiomatiquement l'ensemble N* des nombres entiers strictement[...]