BOLZANO BERNARD (1781-1848)

Premiers travaux scientifiques

Le premier travail mathématique de Bolzano est consacré à la « démonstration » du postulat des parallèles d'Euclide. Plus importants sont ses mémoires d'analyse de 1816-1817, dont les préfaces esquissent le programme d'une « transformation totale des sciences a priori » et qui, en particulier, l'engagent dans la réforme des fondements du calcul infinitésimal. Bolzano rejette le concept d'infiniment petit, refuse de fonder l'analyse sur le théorème de Taylor, critique sévèrement l'usage des séries divergentes et se décide pour la seule voie logiquement irréprochable, la méthode des limites.

Le Rein analytischer Beweis... (Démonstration purement analytique...) de 1817 prend comme point de départ les mémoires de Gauss sur le « théorème fondamental de l'algèbre ». Bolzano se propose de démontrer une propriété intuitivement évidente des fonctions continues, le théorème des valeurs intermédiaires, que Gauss a utilisée sans démonstration : une fonction continue doit s'annuler lorsqu'elle change de signe. Le refus de l'évidence géométrique amène Bolzano à construire une séquence de concepts et théorèmes préalables : le théorème de l'existence de la borne inférieure d'un ensemble minoré de réels (théorème de Bolzano-Gauss), qui repose à son tour sur le critère de convergence des suites (critère de Bolzano-Cauchy), le tout prenant appui sur une première définition correcte de la continuité en termes de limite. L'intuition géométrique est remplacée à chaque étape par des chaînes démonstratives à partir de concepts formulés en termes purement arithmétiques. Une telle démonstration ne se contente pas de « produire la certitude » comme le ferait une démonstration géométrique ; elle fonde la proposition dans la mesure où elle la rattache au système des axiomes et des théorèmes de la mathématique pure. Dans ce sens, le Rein analytischer Beweis est une illustration éclatante de la doctrine bolzanienne de la « connexion objective des vérités » qui sera développée dans la Wissenschaftslehre. À un seul moment, la chaîne démonstrative est rompue : pour démontrer le théorème de la borne inférieure, Bolzano admet l'ensemble des réels avec ses propriétés. Il essaiera d'y remédier dans la Grössenlehre.

Au cours de la même période, renouant avec la tradition leibnizienne de Mathesis universalis, Bolzano se consacre à l'élucidation de la nature des mathématiques et des procédés logiques utilisés en mathématiques. Les Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik (Contributions à un exposé mieux fondé des mathématiques) de 1810 critiquent aussi bien la définition traditionnelle des mathématiques comme science de la grandeur que la conception kantienne comme science de la construction des concepts dans l'intuition. Pour Bolzano, la mathématique est « la science qui traite des lois générales (des formes) auxquelles les choses doivent se conformer dans leur existence ». D'après les manuscrits qui font suite aux Beyträge, cette mathématique universelle est une doctrine des totalités ou systèmes. Cependant, devant l'échec relatif des tentatives de définir les concepts de nombre et de grandeur à partir de telles totalités, Bolzano se tourne d'abord vers l'examen approfondi des structures logiques des théories scientifiques.