RIEMANN BERNHARD (1826-1866)
Variétés riemanniennes
Riemann fut déçu quand Gauss choisit, pour la soutenance, la partie non encore rédigée de son mémoire d'habilitation ; c'est à cette déception que nous devons une dissertation philosophique Sur les hypothèses qui servent de base à la géométrie. Dans la première section, intitulée « Notion de grandeur à n dimensions », apparaît l'expression « variété continue » ; mais aucune explication n'est donnée sur le contenu de cette notion.
La deuxième section traite des « Rapports métriques dont est susceptible une variété à n dimensions », chacun d'eux étant déterminé par un élément linéaire ds, racine carrée d'une forme quadratique définie positive en dx1, ..., dxn, à coefficients fonctions continues de x : il s'agit donc maintenant de variétés différentiables.
Sur une variété plane, ds2 est la somme des carrés de n différentielles exactes. Dans la troisième section, prenant n = 2, Riemann remarque que l'existence d'un groupe de déplacements n'est pas liée à une courbure totale nulle, cas d'une variété plane, mais plus généralement à une courbure totale constante : c'est pour cette remarque fondamentale que son nom est resté attaché à la géométrie sur la sphère, où la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits.
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Écrit par
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
Classification
Autres références
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- Écrit par Bernard PIRE
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La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl...
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