Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

Fonction ζ et répartition des nombres premiers

La partie, célèbre entre toutes, de l'œuvre de Riemann concernant la fonction ζ tient en une dizaine de pages, adressées en 1859 à l'Académie de Berlin, qui venait de l'élire membre correspondant.

La fonction ζ (cf. fonctionzêta) est définie d'abord, pour Re s > 1, comme somme de la série de Riemann :

Euler avait montré que 1/ζ(s) est produit des facteurs 1 − p−s, p premier ≥ 2, d'où ζ(s) ≠ 0 pour Re s > 1 ; il avait d'autre part défini la fonction Γ par :

pour Re s > 0, et obtenu la formule des compléments :
d'où découle un prolongement méromorphe de Γ à tout le plan, avec comme pôles (simples) les entiers ≤ 0.

Notons ln la détermination principale du logarithme complexe (holomorphe sur le complémentaire du demi-axe réel négatif, et de partie imaginaire comprise entre ± π), et L le chemin suivant décrit par le point z = x + iy = reiθ : d'abord x décroît de + ∞ à 0, y restant égal à 1 ; puis θ croît de π/2 à 3 π/2, r restant égal à 1 ; enfin x croît de 0 à + ∞, y restant égal à − 1. Avec ces notations, Riemann obtient la formule :

où l'intégrale est une fonction entière de s, d'où un prolongement méromorphe de ζ à tout le plan, avec le seul pôle (simple) s = 1 ; puis il montre que :
est une fonction entière et une fonction paire de s − 1/2 ; la fonction ζ(s) ne pouvant s'annuler que pour Re s ≤ 1, la fonction ξ(s) ne peut s'annuler que pour 0 ≤ Re s ≤ 1.

Puisqu'on a la formule :

on conçoit qu'une analyse subtile puisse lier, d'une part, la croissance avec x réel du nombre π(x) des nombres premiers inférieurs à x, ou de la somme θ(x) des logarithmes de ces nombres premiers et, d'autre part, le comportement, quand T → ∞, de :
avec b > 1. Pour appliquer à cette intégrale la méthode des résidus, on complète le chemin d'intégration en le périmètre d'un rectangle de sommets a ± iT, b ± iT, avec 1/2 < a < 1, et cela de manière que ζ ne s'annule ni sur l'aire ni sur le périmètre du rectangle.

C'est pourquoi Riemann formule en ces termes sa célèbre hypothèse : « Il est très probable que tous les zéros de ξ ont une partie réelle égale à 1/2, mais j'ai laissé cette recherche de côté pour le moment après quelques rapides essais infructueux. » Plus d'un siècle après, cette hypothèse n'a pu être ni confirmée ni infirmée. Par contre, Hadamard et La Vallée-Poussin réussirent l'un et l'autre, en 1896, par des méthodes parallèles mais distinctes, à poursuivre l'analyse sans recourir à l'hypothèse de Riemann : La Vallée-Poussin y parvint en prenant a = 1 − c/ln T pour T assez grand, la constante c étant convenablement choisie. La conclusion fut le théorème fondamental :

quand x → + ∞, conjecturé par Legendre dès 1798 et ainsi démontré près d'un siècle plus tard.

Après ce succès, les spécialistes portèrent leur effort sur la recherche d'une démonstration élémentaire, c'est-à-dire évitant les fonctions d'une variable complexe : il fallut encore attendre 1948 pour que ce but fût atteint simultanément par Selberg et Erdös.

— Michel HERVÉ

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Autres références

  • DISSERTATIONS (B. Riemann)

    • Écrit par
    • 216 mots
    • 1 média
    Bernhard Riemann - crédits : Bettman/ Getty Images

    La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 532 mots
    ...x1 + x2 et x1x2 comme fonctions analytiques des deux variables complexes u1, u2, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit «   genre » de...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par et
    • 6 252 mots
    • 1 média
    Développements asymptotiques - crédits : Encyclopædia Universalis France
    Cette méthode a été utilisée parRiemann en 1863 pour étudier le comportement asymptotique de la fonction hypergéométrique et Debye l'a systématiquement développée dans deux mémoires de 1909 et 1910. Il s'agit d'étudier, pour t réel tendant vers l'infini, des intégrales du...

  • CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

    • Écrit par
    • 836 mots

    Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...

  • DÉMONSTRATION (notions de base)

    • Écrit par
    • 3 087 mots
    ...suffit à démontrer l’inexactitude de la proposition initiale. Pour procéder ainsi, deux mathématiciens, Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) et Bernhard Riemann (1826-1866) partirent d’axiomes différents de celui d’Euclide. Lobatchevski partit de l’axiome selon lequel par un point en dehors d’une...
  • Afficher les 19 références
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter