PÂQUES CALCUL DES DATES DE

La date de Pâques, mobile dans notre calendrier actuel, a été fixée, après trois siècles de controverses, par le concile de Nicée en 325. La règle, toujours en usage, est la suivante : « Pâques est le dimanche qui suit le quatorzième jour de la Lune [pleine Lune] qui atteint cet âge au 21 mars [équinoxe] ou immédiatement après ». D'après cette règle, Pâques peut donc occuper, selon les années, trente-cinq positions dans le calendrier, du 22 mars au 25 avril inclus.

Si l'on choisit d'analyser la période des sept cents premières années du calendrier grégorien, de 1583 à 2282, on constate que, sur les trente-cinq positions possibles de la date de Pâques, les plus rares sont le 24 mars (seulement en 1799 et en 1940) et le 22 mars (1598, 1693, 1761, 1818). Au contraire, les positions de Pâques les plus fréquemment observées sont le 16 avril (30 occurrences), puis les 31 mars, 5 avril et 11 avril (29 occurrences chacune).

Les calculs réguliers de comput ecclésiastique font jouer les notions complexes de lettres dominicales, de cycle de Méton (établi en — 432) et de nombres d'or (« Lunes juliennes » calculées par Denys le Petit au vi^e siècle), ou, pour le comput grégorien, d'épactes rectifiées (à partir de 1582). Mais il convient de noter que, du fait des irrégularités des mouvements lunaires, la date de Pâques se trouve déterminée par ces calculs, non pas sur la Lune astronomique vraie, mais sur une lune fictive, dite lune ecclésiastique ou calendaire ; les écarts de phase ainsi observés, d'un ou parfois deux jours, peuvent entraîner une erreur de détermination de la date de Pâques d'une semaine, ou même d'un mois, dans un sens ou dans l'autre.

Quoi qu'il en soit, il peut être souhaitable de trouver rapidement, soit dans le passé (recherches de chronologie historique) soit pour l'époque contemporaine ou pour l'avenir, la date effective de Pâques, sans devoir recourir à la consultation d'éphémérides astronomiques. C'est ainsi que Carl Friedrich Gauss a établi en 1800 des formules permettant d'obtenir aisément la date de Pâques dans les calendriers julien et grégorien. On en trouvera ci-dessous une présentation nouvelle entièrement refondue, autorisant un calcul plus rapide encore.

Voici d'abord une méthode simplifiée, valable seulement de 1900 à 2099 compris. On conviendra ici, si m et n sont des entiers positifs, de noter par[m]_n le reste de la division de m par n.

Si on désigne par P_m la date de Pâques d'une année de millésime m, et par r le retard de la pleine Lune pascale sur le 21 mars, on calculera successivement : (1) r = [19[m]₁₉ + 24]₃₀ ; (2) t = [2[m]₄ + 4[m]₇ + 6r + 5]₇ ; et (3) P_m = r + t — 9 avril ; si r + t ≤ 9, on prendra : (3 bis) P_m = r + t + 22 mars.

Ainsi, pour obtenir la date de Pâques en 1999, on calcule r = [76 + 24]₃₀ = 10 ; puis t = [(2 × 3) + (4 × 4) + (6 × 10) + 5]₇  = 3 ; d'où, selon la formule 3 : P₁₉₉₉ = 10 + 3 — 9 avril = 4 avril.

Quant à la date de Pâques en 2005, par exemple, on la calculera ainsi : r = [190 + 24]₃₀ = 4 ; t = [(2 × 1) + (4 × 3) + (6 × 4) + 5]₇ = 1 ; et, par application cette fois de la formule 3 bis (car r + t < 9) : P₂₀₀₅ = 4+ 1 + 22 mars = 27 mars.

À noter une clause limite : si r = 29, il faut alors prendre un retard rectifié r' = r — 1 = 28 (faute d'en tenir compte, on trouverait comme date de Pâques le dimanche 26 avril – cas de figure impossible – au lieu du 19 avril). Cette clause a joué en 1981, et rejouera en 2076, 2133, 2201, 2296, puis 2448...

Si r = 28 et si[m]₁₉ > 10, une autre clause limite impose r″ = r — 1 = 27. D'où glissement de la date pascale du 25 au 18 avril (la clause r″ a joué en 1954 ; elle rejouera en 2049, 2106...).

Formules générales perpétuelles. Dans les formules simplifiées (1) et (2), 24 et 5 sont, pour les deux siècles considérés, les valeurs respectives de (15 + α) et de (6 — β) des formules générales.

Les valeurs α et β (dont les formules complexes de calcul ne sont pas données ici) sont des correctifs rendus nécessaires par l'irrégularité qu'introduit dans le comput julien la réforme grégorienne de 1582 ; ces valeurs sont évidemment nulles dans le calendrier julien. Dans le calendrier grégorien, (15 + α) et (6 — β) valent respectivement 22 et 2 de 1583 à 1699, 23 et 3 de 1700 à 1799, 23 et 4 de 1800 à 1899, 24 et 5 de 1900 à 2099, 24 et 6 de 2100 à 2199, 25 et 0 de 2200 à 2299...

Exemples de vérification de chronologie. L'histoire précise qu'en 1797, le massacre des Français par les habitants de Vérone, connu sous le nom de Pâques véronaises, commença le 17 avril, « second jour des fêtes de Pâques ». Nos formules permettent de vérifier instantanément que le dimanche de Pâques 1797 tomba effectivement le 16 avril : r = [(19 × 11) + 23]₃₀ = 22 ; t = [(2 × 1) + (4 × 5) + (6 × 22) + 3]₇ = 3 ; d'où P₁₇₉₇ = 22 + 3 — 9 = 16 avril.

Choisissons, pour une autre vérification pascale, dans le calendrier julien cette fois, un autre massacre de Français, connu sous le nom de Vêpres siciliennes, car il commença à Palerme « au soir du lundi de Pâques de l'an 1282, qui fut un 30 mars ». Il s'agit donc de voir si Pâques tomba bien le 29 mars cette année-là. Ici, pas de correctif α ni β, puisque la date à vérifier est en période julienne : r = [(19 × 9) + 15]₃₀ = 6 ; t = [(2 × 2) + (4 × 1) + (6 × 6)]₇ = 1 ; d'où P₁₂₈₂ = 6 + 1 + 22 = 29 mars.

Dates de Pâques de 2000 à 2025. Voici, selon la méthode de Gauss exposée plus haut, les dates pascales de l'an 2000 et des vingt-cinq premières années du xxi^e siècle : 23 avril 2000 ; 15 avril 2001, 31 mars 2002, 20 avril 2003, 11 avril 2004, 27 mars 2005, 16 avril 2006, 8 avril 2007, 23 mars 2008, 12 avril 2009, 4 avril 2010, 24 avril 2011, 8 avril 2012, 31 mars 2013, 20 avril 2014, 5 avril 2015, 27 mars 2016, 16 avril 2017, 1^er avril 2018, 21 avril 2019, 12 avril 2020, 4 avril 2021, 17 avril 2022, 9 avril 2023, 31 mars 2024, 20 avril 2025.

La plupart des fêtes religieuses mobiles découlent de la date du dimanche de Pâques, à partir de laquelle on les obtient par correction négative ou positive. Ces corrections sont respectivement de — 46 pour le mercredi des Cendres (35 positions possibles, du 4 février au 10 mars), de + 39 pour le jeudi de l'Ascension et de + 49 pour le dimanche de la Pentecôte (qui peut courir du 10 mai au 13 juin).

— Pierre DELIGNY