- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
- 3. Instruments de travail
- 4. Lois et fonctions caractéristiques fondamentales
- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
- 8. Lois des grands nombres et théorème central limite
- 9. Certaines lois de probabilités
- 10. Chaînes de Markov et martingales
- 11. Quelques problèmes simples
- 12. Bibliographie
PROBABILITÉS CALCUL DES
Le calcul des probabilités est certainement l'une des branches les plus récentes des mathématiques, bien qu'il ait en fait trois siècles et demi d'existence. Après s'être cantonné dans l'étude des jeux de hasard, il s'est introduit dans presque toutes les branches de l'activité scientifique, aussi bien dans l'analyse (théorie du potentiel), l'économie, la génétique (lois de Mendel), la physique corpusculaire (toutes les théories statistiques) que dans la psychologie et l'informatique, dont la source est l'étude de la quantité d'information, donnée probabiliste s'il en est. Il est rare de trouver un tel exemple de « recouvrement » dans le domaine scientifique. On peut, sans paradoxe, soutenir que toutes les mathématiques anciennes sont un cas particulier du calcul des probabilités, le certain étant de l'aléatoire dont la réalisation a une probabilité égale à 1.
Le calcul des probabilités est né de l'étude des jeux de hasard. Ce dernier mot, transmis par l'Espagne, vient d'Arabie. L'arabe az-zahr, « dé à jouer », s'est transformé en azar, « hasard » (et souvent « revers ») en espagnol. La base philologique, si l'on peut dire, du calcul des probabilités est donc le jeu (pile ou face, jeu de roulette, cartes). Pascal et le chevalier de Méré sont certainement les premiers à avoir voulu introduire le quantitatif dans ces études et à les mathématiser. On essaye aujourd'hui de réduire l'importance de ce point de départ en cherchant un fondement axiomatique et en enseignant le calcul des probabilités sans parler de hasard (à peine ose-t-on parler d'aléa). Il n'en est pas moins vrai que, sans l'activité des joueurs, le calcul des probabilités n'aurait sûrement pas vu le jour. Depuis le xviie siècle, de nombreux mathématiciens ont apporté une très importante contribution au développement de cette science : parmi les plus marquants, citons Laplace, dont le tome VII des Œuvres complètes est consacré au calcul des probabilités, et Denis Poisson, Carl Friedrich Gauss, Henri Poincaré, Émile Borel, Maurice Fréchet, Paul Lévy, A. N. Kolmogorov et A. Khintchine.
Position concrète du problème
Prenons les deux cas suivants qui concernent la réalisation d'un événement inconnu :
a) naissance d'un garçon, dans le cas de la première naissance enregistrée à l'état civil du cinquième arrondissement de Paris dans l'année 1972,
b) obtention de face dans le jet d'une pièce parfaitement symétrique.
Attacher une « probabilité » à ces deux événements pose un certain nombre de questions sur lesquelles Borel s'est penché : dans le premier cas, la probabilité résulte de la connaissance détaillée et précise d'un grand nombre de phénomènes analogues ; selon le langage de Borel, c'est une probabilité statistique. Dans le second exemple, la symétrie parfaite de la pièce donne autant de chances aux deux faces ; on dira donc qu'il y a une chance sur deux d'obtenir face, c'est-à-dire que la probabilité de l'événement est 0,5. « Toute probabilité concrète, écrit Borel, est en définitive une probabilité statistique définie seulement avec une certaine approximation. Bien entendu, il est loisible aux mathématiciens, pour la commodité de leurs raisonnements et de leurs calculs, d'introduire des probabilités rigoureusement égales à des nombres simples, bien définis : c'est la condition même de l'application des mathématiques à toute question concrète ; on remplace les données réelles, toujours inexactement connues, par des valeurs approchées sur lesquelles on calcule comme si elles étaient exactes : le résultat est approché, de même que les données » (Borel, Le Hasard).
Reprenons l'exemple de la pièce de monnaie qui permet[...]
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Écrit par
- Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI
Classification
Médias
Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss
Encyclopædia Universalis France
Histogramme de fréquence
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Sortie d'un domaine au hasard
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