PROBABILITÉS CALCUL DES

Chaînes de Markov et martingales

On appelle chaîne une suite de variables aléatoires X₁, X₂, ..., X_n, ... telles que la loi de probabilité de X_n dépende des épreuves précédentes. Une chaîne de Markov simple est une suite de telles variables dans laquelle la loi de X_n dépend uniquement de l'épreuve X_n₋₁. Supposons que Ω soit l'ensemble {1, 2, ..., n} des n premiers entiers. Appelons p_ij la probabilité pour X_n de l'événement j, l'épreuve précédente de rang n − 1 étant i ; naturellement, on a :

quel que soit i. Considérons la matrice :

que l'on appelle souvent une matrice stochastique. La matrice unité est une matrice stochastique et le produit AB de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique : en effet, les éléments de AB sont bien entendu positifs et, de plus, on a :

l'ensemble des matrices stochastiques forme donc un semi-groupe. En particulier, les puissances d'une même matrice A forment un semi-groupe ; étant donné les axiomes du calcul des probabilités, la matrice Aⁿ a pour élément de la i-ième ligne et de la j-ième colonne la probabilité pour la n-ième variable X_n de l'événement j, la première épreuve étant i et les probabilités de passage étant les mêmes quel que soit l'indice n (on dit que la chaîne est stable). Cherchons le comportement de Aⁿ quand n augmente indéfiniment. La matrice A a pour valeur propre l'unité, car l'ensemble des équations :

est évidemment satisfait si tous les x_i sont égaux et si λ = 1. On a, d'autre part, l'inégalité :

si on a à la fois p_ij≠ 0, quels que soient i, j, et la non-réalisation de l'ensemble des égalités x₁ = x₂ ... x_n, la seconde inégalité est stricte. Si on prend i égal à l'indice j₁ tel que max|x_j|=|x_j_₁|, on a :

ce qui indique que les modules des valeurs propres différentes de 1 sont strictement inférieurs à 1. On montre que, dans le cas où tous les p_ij sont différents de 0, la valeur propre λ = 1 est simple. Il en résulte que, si l'on donne à A sa forme réduite R (diagonale, ou réduite de Cauchy si les valeurs propres différentes de 1 sont multiples), avec A = TRT⁻¹, on aura A^m = TR^mT⁻¹ et, la valeur propre λ = 1 étant simple et les autres valeurs propres étant de modules inférieurs à 1, la matrice R^m tendra vers une matrice dont le seul élément différent de 0 sera celui de la première ligne, première colonne ; cet élément est égal à 1. La matrice R^mT⁻¹ tendra vers une matrice dont les seuls éléments non nuls sont ceux de la première ligne, égaux à α₁, α₂, ..., α_n, et la matrice A^m tendra vers (t_i1α_j) si t_ij est l'élément général de T ; comme A^m est une matrice stochastique, on a :

quel que soit i, et par suite :

Il en résulte que le nombre :

qui est, quand m tend vers l'infini, la limite de la probabilité pour que le système passe de l'état i à l'état j en m épreuves, est indépendant de i, c'est-à-dire de l'état initial. On a donc un premier cas d'ergodicité (indépendance de l'état initial) quand tous les p_ij sont différents de 0.

Afin d'illustrer cette étude, Poincaré a pris l'exemple du battage des cartes : Soit un jeu de N cartes ; la probabilité pour qu'une carte donnée occupe une place déterminée après un très grand nombre de battages est indépendante de la place que cette carte occupait initialement ; compte tenu de la symétrie du problème, cette probabilité est 1/N et elle ne dépend pas non plus, dans ce cas, de la place finale.

On appelle martingale une suite de variables aléatoires X₁, X₂, ..., X_n,... telles que :

ces suites discrètes de variables aléatoires ont été généralisées sous forme de processus continus (cf. processus stochastiques).

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Écrit par

Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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