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PROBABILITÉS CALCUL DES

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Chaînes de Markov et martingales

On appelle chaîne une suite de variables aléatoires X1, X2, ..., Xn, ... telles que la loi de probabilité de Xn dépende des épreuves précédentes. Une chaîne de Markov simple est une suite de telles variables dans laquelle la loi de Xn dépend uniquement de l'épreuve Xn−1. Supposons que Ω soit l'ensemble {1, 2, ..., n} des n premiers entiers. Appelons pij la probabilité pour Xn de l'événement j, l'épreuve précédente de rang n − 1 étant i ; naturellement, on a :

quel que soit i. Considérons la matrice :
que l'on appelle souvent une matrice stochastique. La matrice unité est une matrice stochastique et le produit AB de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique : en effet, les éléments de AB sont bien entendu positifs et, de plus, on a :
l'ensemble des matrices stochastiques forme donc un semi-groupe. En particulier, les puissances d'une même matrice A forment un semi-groupe ; étant donné les axiomes du calcul des probabilités, la matrice An a pour élément de la i-ième ligne et de la j-ième colonne la probabilité pour la n-ième variable Xn de l'événement j, la première épreuve étant i et les probabilités de passage étant les mêmes quel que soit l'indice n (on dit que la chaîne est stable). Cherchons le comportement de An quand n augmente indéfiniment. La matrice A a pour valeur propre l'unité, car l'ensemble des équations :
est évidemment satisfait si tous les xi sont égaux et si λ = 1. On a, d'autre part, l'inégalité :
si on a à la fois pij ≠ 0, quels que soient i, j, et la non-réalisation de l'ensemble des égalités x1 = x2 ... xn, la seconde inégalité est stricte. Si on prend i égal à l'indice j1 tel que max|xj|=|xj1|, on a :
ce qui indique que les modules des valeurs propres différentes de 1 sont strictement inférieurs à 1. On montre que, dans le cas où tous les pij sont différents de 0, la valeur propre λ = 1 est simple. Il en résulte que, si l'on donne à A sa forme réduite R (diagonale, ou réduite de Cauchy si les valeurs propres différentes de 1 sont multiples), avec A = TRT−1, on aura Am = TRmT−1 et, la valeur propre λ = 1 étant simple et les autres valeurs propres étant de modules inférieurs à 1, la matrice Rm tendra vers une matrice dont le seul élément différent de 0 sera celui de la première ligne, première colonne ; cet élément est égal à 1. La matrice RmT−1 tendra vers une matrice dont les seuls éléments non nuls sont ceux de la première ligne, égaux à α1, α2, ..., αn, et la matrice Am tendra vers (ti1αj) si tij est l'élément général de T ; comme Am est une matrice stochastique, on a :
quel que soit i, et par suite :

Il en résulte que le nombre :

qui est, quand m tend vers l'infini, la limite de la probabilité pour que le système passe de l'état i à l'état j en m épreuves, est indépendant de i, c'est-à-dire de l'état initial. On a donc un premier cas d'ergodicité (indépendance de l'état initial) quand tous les pij sont différents de 0.

Afin d'illustrer cette étude, Poincaré a pris l'exemple du battage des cartes : Soit un jeu de N cartes ; la probabilité pour qu'une carte donnée occupe une place déterminée après un très grand nombre de battages est indépendante de la place que cette carte occupait initialement ; compte tenu de la symétrie du problème, cette probabilité est 1/N et elle ne dépend pas non plus, dans ce cas, de la place finale.

On appelle martingale une suite de variables aléatoires X1, X2, ..., Xn,... telles que :

ces suites discrètes de variables aléatoires ont été généralisées sous forme de processus continus (cf. processus stochastiques).

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  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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