- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
- 3. Instruments de travail
- 4. Lois et fonctions caractéristiques fondamentales
- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
- 8. Lois des grands nombres et théorème central limite
- 9. Certaines lois de probabilités
- 10. Chaînes de Markov et martingales
- 11. Quelques problèmes simples
- 12. Bibliographie
PROBABILITÉS CALCUL DES
Quelques problèmes simples
Problème de l'aiguille de Buffon
Dans le volume VII du Supplément à son Histoire naturelle, Buffon aborde assez curieusement de nombreux problèmes de calcul des probabilités et de statistique (en particulier, il est parmi les premiers à avoir dressé des tables de mortalité). L'un des plus célèbres est celui de l'aiguille, dont l'énoncé est le suivant : Sur un plan sont tracées des droites parallèles distantes de h. On jette « au hasard » sur ce plan une aiguille de longueur l, avec l < h ; quelle est la probabilité pour que cette aiguille rencontre l'une des droites ?
Il convient de préciser ce que l'on entend par « au hasard » dans un tel problème, comme d'ailleurs dans bien d'autres, ainsi que nous le verrons plus loin. « Au hasard » veut dire ici que la probabilité pour que le milieu de l'aiguille tombe dans une région donnée est proportionnelle à l'aire de cette région et que l'orientation de l'aiguille, qui est indépendante de la position du milieu, obéit aussi à une loi uniforme : la probabilité pour que l'intersection de l'aiguille orientée avec une circonférence de rayon 1 se trouve sur un certain arc est égale à la mesure de cet arc divisé par 2 π.
Une solution élégante de ce problème a été donnée par E. Barbier vers 1860. Appelons N la variable aléatoire égale au nombre de points de rencontre de l'aiguille et du réseau de droites parallèles ; N prend la valeur 0 avec la probabilité 1 − p et la valeur 1 avec la probabilité p que l'on cherche : E(N) = p. Considérons maintenant une ligne polygonale, fermée ou non, de n côtés, et appelons Ni la variable aléatoire définie comme précédemment relative à chaque côté. Les différentes variables Ni ne sont pas indépendantes, mais on sait que, même dans ce cas (cf. chap. 3), on a :
Probabilités en arithmétique
Deux nombres entiers positifs étant choisis « au hasard », quelle est la probabilité pour qu'ils soient premiers entre eux ? Ici encore, il faut préciser l'expression « au hasard » ; elle voudrait signifier « en donnant la même probabilité à chaque entier positif », mais il n'est pas possible de donner directement cette égalité de chances : si elle était nulle, la probabilité de l'ensemble des entiers serait nulle, et si elle était différente de 0, la probabilité de l'ensemble des entiers serait infinie. Il faut donc entendre « au hasard » de la façon suivante : on considère tous les entiers inférieurs à N ; en attribuant la même probabilité à chacun de ces entiers, on calculera la probabilité pour que deux entiers indépendants soient premiers entre eux et on calculera la limite de cette probabilité lorsque N augmente indéfiniment. Étant entendue de cette manière, la probabilité pour qu'un nombre soit multiple de n est égale à 1/[...]
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Écrit par
- Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI
Classification
Médias
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