- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
- 3. Instruments de travail
- 4. Lois et fonctions caractéristiques fondamentales
- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
- 8. Lois des grands nombres et théorème central limite
- 9. Certaines lois de probabilités
- 10. Chaînes de Markov et martingales
- 11. Quelques problèmes simples
- 12. Bibliographie
PROBABILITÉS CALCUL DES
Axiomatique
Jusqu'à présent, « probabiliser » un ensemble d'épreuves consistait à répartir, en chacun des éléments de cet ensemble, un ensemble de valeurs positives ou nulles et dont la somme était égale à 1. Ce problème ne soulevait aucune difficulté. Il n'en est pas de même quand l'espace des épreuves Ω a la puissance du continu et quand on veut associer une probabilité à chacun des sous-ensembles de Ω : dans sa généralité, le problème est sans solution. On sera amené à isoler dans l'ensemble des sous-ensembles de Ω une σ-algèbre ou tribu. Une tribu B est une classe de parties de Ω possédant les propriétés suivantes :
α) B contient Ω et ∅ (∅ est l'ensemble vide) ;
β) B est stable pour les opérations de réunion, d'intersection et de passage au complémentaire, c'est-à-dire que, si les parties A et B appartiennent à une tribu, A ∪ B, A ∩ B et ʗA et ʗB (complémentaires de A et de B) en font aussi partie (cf. théorie des ensembles) ;
γ) B est stable par rapport à la réunion dénombrable. On rapprochera cette définition de celle qui est donnée dans le chapitre 1 de l'article intégration et mesure.
Ces sous-ensembles s'appellent des événements. De ces axiomes on déduit que la tribu B est stable par rapport aux opérations de passage à la borne supérieure, à la borne inférieure, aux limites supérieures et inférieures et aux limites dans le cas dénombrable. C'est sur cette classe B de parties que l'on peut répartir une probabilité, c'est-à-dire appliquer la classe sur le segment fermé [0, 1], avec les conditions suivantes :
1) la probabilité d'un événement certain est égale à 1, c'est-à-dire :
2) la probabilité est une fonction additive d'ensemble ; si donc les événements A1 et A2 appartiennent à la tribu, on a :
3) l'application est σ-additive en ce sens que, si An est une suite croissante An+1 ⊃ An d'événements dont la réunion A appartient à la tribu, alors p(An) tend vers p(A).
La classe initiale sera complétée par les ensembles p-négligeables qui sont les ensembles contenus dans ceux de la tribu qui ont une probabilité nulle. B complété ainsi sera encore désigné par B. Le triplet (Ω, B, p) a reçu le nom d'espace de probabilité. On obtient deux résultats importants qui sont l'inégalité de Boole :
La définition d'une probabilité sur un espace produit s'introduit de manière naturelle. Un autre élément axiomatique est la probabilité de l'événement A conditionné par l'événement B, notée p(A/B), que l'on appelle parfois l'axiome de Bayes : La probabilité du concours de deux événements A et B (appartenant naturellement à B), soit A ∩ B, est égale au produit de la probabilité de B par la probabilité de A si l'événement B a lieu (ce que nous avons appelé p(A/B)) ; ce qui se traduit par les égalités suivantes, dans lesquelles A et B jouent un rôle symétrique :
L'axiome de Bayes permet d'introduire la notion d'événements indépendants : A et B sont dits indépendants si :
Une variable aléatoire à valeurs dans Ω, est une application mesurable d'un espace de probabilité (Ω, B, p) dans un espace Ω1 muni d'une tribu B1. Un cas particulier important est celui où le doublet (Ω1, B1) est l'espace Rn muni de la tribu borélienne (cf. intégration et mesure, chap. 3).
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Écrit par
- Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI
Classification
Médias
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