PROBABILITÉS CALCUL DES

Instruments de travail

Lois de répartition

La fin du chapitre précédent a attiré l'attention sur le cas où (Ω₁, B₁) est l'espace Rⁿ muni de la tribu borélienne. Dans ce cas, l'ensemble (X₁, ..., X_n) des n coordonnées d'un point constitue la variable aléatoire et l'on peut introduire une fonction de n variables x₁, ..., x_n :

On lui donne le nom de loi de probabilité (ou fonction de répartition) de la variable aléatoire considérée. C'est une fonction non décroissante de l'ensemble des n coordonnées. Dans le cas d'une coordonnée, la fonction F(x) non décroissante se décompose, selon le résultat classique de Lebesgue, en une somme :

de trois fonctions non décroissantes, où F₁ est la fonction des « sauts » (c'est-à-dire qu'elle est constante en dehors des points de discontinuité de F, dont l'ensemble est au plus dénombrable, et qu'elle a en ces points de discontinuité une variation, un « saut » égal à celui de F). La fonction F − F₁, qui est donc continue, se décompose en une somme de deux fonctions non décroissantes ; d'abord F₃, absolument continue, c'est-à-dire égale à une intégrale de la forme suivante :

puis F₂, égale naturellement à F − F₁ − F₃, qui sera non décroissante continue mais non absolument continue ; on prendra F₂ telle qu'elle ne soit susceptible de variation que sur un ensemble de mesure nulle. Un exemple classique de cette dernière situation est la fonction attachée à l'ensemble triadique de Cantor : le nombre x étant compris entre 0 et 1, on l'exprime dans le système de base 3, soit :

où a_i est égal à 0, 1 ou 2. Considérons tous les x qui peuvent s'exprimer uniquement avec des a_i égaux à 0 ou 2 (dans le cas où deux représentations sont possibles, on retiendra x si l'une des deux représentations ne comporte que des 0 ou des 2). Pour un tel x, posons :

en base 2, avec b_i = 0 si a_i = 0 et b_i = 1 si a_i = 2 ; en dehors de l'ensemble des x considérés, la fonction G sera constante. Cette fonction est continue et ne peut pas être représentée par une intégrale, car elle n'est pas absolument continue.

La décomposition F = F₁ + F₂ + F₃ est unique ; bien entendu, une ou deux des fonctions F_i peuvent être nulles.

La définition :

et les axiomes auxquels obéit p entraînent que F est continue à gauche, c'est-à-dire que F(x) = F(x − 0). La donnée de la fonction de répartition permet de calculer la valeur de la probabilité de tous les ensembles probabilisables. C'est donc un instrument de travail essentiel.

Fonction caractéristique

Parallèlement à la fonction de répartition, le calcul des probabilités utilise la fonction caractéristique, introduite par H. Poincaré, puis, sous sa forme actuelle, par P. Lévy, donnée par l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes :

Le passage de la fonction ϕ à la fonction F se fait par l'intermédiaire de la formule d'inversion de Fourier. Si la fonction de répartition est continue sur la frontière du pavé :

on a :

où :

si la fonction de répartition n'était pas continue sur la frontière, cette égalité devrait subir les modifications habituelles de la théorie de la transformation de Fourier (cf. analyse harmonique).

La fonction caractéristique possède plusieurs propriétés qui rendent son emploi fréquent en calcul des probabilités. La première propriété est topologique : Si une suite F₁, F₂, ..., F_n, ... de fonctions de répartition converge en tout point de Rⁿ vers une fonction de répartition limite F, alors la suite ϕ₁, ..., ϕ_n, ... des fonctions converge, uniformément, dans tout domaine borné contenant l'origine, vers la fonction caractéristique ϕ de F. Cet énoncé admet la réciproque suivante, souvent utilisée : Si en tout point de Rⁿ la suite ϕ₁, ..., ϕ_n, ... converge vers une fonction[...]

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Écrit par

Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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