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PROBABILITÉS CALCUL DES

Lois et fonctions caractéristiques fondamentales

Variable certaine

La première loi que l'on rencontre est la loi d'un élément certain ou presque certain. Elle correspond au cas où ω ∈ Ω, la probabilité p étant telle que p({ω}) = 1. Il en résulte que la probabilité d'un événement quelconque ne contenant pas ω est égale à 0. Si Ω = Rn, la fonction caractéristique de cette variable aléatoire certaine est :

si ω = (m1, ..., mn). Des définitions du chapitre précédent il résulte qu'une variable aléatoire certaine est indépendante (au sens du calcul des probabilités) de toute autre variable aléatoire et, en particulier, de toute variable aléatoire certaine.

Variable et loi de Bernoulli

On appelle variable de Bernoulli une variable pour laquelle l'ensemble image Ω1 est égal à {0, 1}. C'est la variable utilisée dans le jeu de pile ou face (le nombre 1 étant attribué, par exemple, à face avec une probabilité p, et le nombre 0 étant attribué à pile avec la probabilité 1 − p = q). Sa fonction caractéristique est q + p eiu.

Loi binomiale

De la variable de Bernoulli on déduit la loi binomiale qui est la somme de n variables (indépendantes) de Bernoulli. La fonction caractéristique est :

la probabilité est répartie sur l'ensemble {0, 1, 2, ..., n}, la probabilité de r étant Crn prqn − r (probabilité de r succès sur n épreuves), le nombre Crn étant le coefficient du binôme.

Loi de Laplace-Gauss

La loi de Laplace-Gauss, connue aussi sous le nom de loi normale, est celle dans laquelle Ω1 = Rn, la loi de répartition de la variable n-dimensionnelle étant donnée par l'intégrale :

dans le cas où la variable est dite centrée, c'est-à-dire d'espérance mathématique nulle ; dans cette formule :
où X est la matrice colonne (vecteur) de composantes X1, ..., Xn, où tX désigne la matrice ligne transposée de la matrice colonne X et où Φ est une matrice définie positive, dite matrice de distribution. Si cette matrice n'est pas singulière, la fonction caractéristique est :
où U est la matrice colonne (vecteur) de composantes u1, ..., un. La matrice de covariance C = (cij), avec cij = E(XiXj), est égale à Φ−1 ; elle est naturellement elle aussi définie positive.

Si, au lieu d'être centrée, la variable était telle que E(X) = M, la loi de répartition serait :

et la fonction caractéristique deviendrait :

Dans le cas n = 1, on trouve, pour une variable unidimensionnelle de Laplace-Gauss non centrée, la loi de répartition :

et la fonction caractéristique est :
dans ces deux formules, σ2 est la variance de cette variable.

Loi de Poisson

La loi de Poisson, connue aussi sous le nom de loi des petites probabilités, est telle que Ω1 = N, la probabilité attachée à l'entier n étant égale à :

où λ est un paramètre positif. Bien entendu, on a :

La fonction caractéristique est :

On peut utiliser ici la notion de fonction génératrice, qui est égale à expλ(z − 1). L'espérance mathématique de la loi de Poisson de même que la variance sont égales à λ.

Loi de Cauchy

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss - crédits : Encyclopædia Universalis France

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss

Encyclopædia Universalis France

L'ensemble Ω1 étant ici égal à R, la loi de Cauchy est la loi de répartition :

la fonction caractéristique est exp −|u|. La figure compare les représentations de la loi de Laplace-Gauss et de la loi de Cauchy. On est dans le cas où il n'existe aucun moment, et la fonction caractéristique n'est pas dérivable à l'origine.

Loi uniforme

Dans le cas de la loi uniforme, Ω1 est le segment [0, 1] et la probabilité d'un sous-ensemble (mesurable au sens de Lebesgue) de ce segment est égale à la mesure de Lebesgue de cet ensemble. La fonction caractéristique est ici :

On trouvera dans les articles processus stochastiques et statistique d'autres lois usuelles dont des tables ont été dressées et qui sont d'usage courant.[...]

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  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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