- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
- 3. Instruments de travail
- 4. Lois et fonctions caractéristiques fondamentales
- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
- 8. Lois des grands nombres et théorème central limite
- 9. Certaines lois de probabilités
- 10. Chaînes de Markov et martingales
- 11. Quelques problèmes simples
- 12. Bibliographie
PROBABILITÉS CALCUL DES
Article modifié le
Arithmétique des lois de probabilités
On désigne par l'expression arithmétique des lois de probabilités un ensemble de recherches et de résultats à l'origine desquels on relève principalement les noms de P. Lévy, H. Cramer et Yu. Linnik. Les questions traitées tournent autour du problème suivant : X étant une variable aléatoire, peut-elle être décomposée comme une somme de deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 ? Il va de soi que cette décomposition est toujours possible si X1 ou X2 est une variable aléatoire certaine ; on se placera donc toujours en dehors de ce cas trivial.
Il convient tout d'abord de faire une remarque sur les lois définies dans le chapitre précédent. Si X1 et X2 sont toutes deux des variables de Laplace-Gauss, ou de Poisson, ou de Cauchy, et si elles sont indépendantes, leur somme est aussi respectivement de Laplace-Gauss, ou de Poisson, ou de Cauchy : c'est une conséquence de la forme des fonctions caractéristiques. Dans le cas de Laplace-Gauss, la fonction caractéristique de la somme sera de la forme :
Ce théorème, simple dans son énoncé, avait été pressenti dès 1934 par P. Lévy qui avait indiqué certaines de ses conséquences. Il fut démontré par H. Cramer, en 1936, pour la loi de Laplace-Gauss et par D. Raikov, en 1937, pour la loi de Poisson. Le principe de la démonstration est le suivant : l'égalité X = X1 + X2, avec X1 et X2 indépendantes, entraîne l'égalité ϕX(u) = ϕX1(u) ϕX2(u) ; il s'agit donc de décomposer une fonction caractéristique de Laplace-Gauss (ou de Poisson) en un produit de deux fonctions caractéristiques, aucune de ces deux fonctions n'étant la fonction caractéristique d'une variable certaine. En utilisant des résultats de E. Picard, de É. Borel, de J. Hadamard et de S. Bernstein, on montre que cette décomposition en produit n'est possible que si X1 et X2 sont du même type que la variable initiale.
On a pu aller plus loin dans ces théorèmes de décomposition en produits de fonctions caractéristiques. Posons :
Ces résultats d'une grande élégance ne peuvent être étendus à la loi de Cauchy : on connaît des exemples où :
Ces théorèmes amorcent les recherches de décomposition : ce sont (tout au moins pour les lois de Laplace-Gauss et de Poisson) des théorèmes d'unicité. On a mis en évidence des cas d'impossibilité : il est facile d'établir qu'une variable de Bernoulli ne peut être décomposée de cette façon. Un problème particulièrement[...]
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Écrit par
- Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI
Classification
Médias
Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss
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Histogramme de fréquence
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