- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
- 3. Instruments de travail
- 4. Lois et fonctions caractéristiques fondamentales
- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
- 8. Lois des grands nombres et théorème central limite
- 9. Certaines lois de probabilités
- 10. Chaînes de Markov et martingales
- 11. Quelques problèmes simples
- 12. Bibliographie
PROBABILITÉS CALCUL DES
Inégalités et équivalences
La plus ancienne des inégalités utilisées en calcul des probabilités est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; si on pose :
On établit de même, et c'est un résultat très utile pour l'étude des lois des grands nombres, que l'existence du k-ième moment en valeur absolue E(|X|k) équivaut à la convergence des deux séries :
De la définition de la variance d'une variable aléatoire on déduit facilement que la variance de la somme de n variables indépendantes est la somme des variances, d'où, en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
Soit maintenant X1, ..., Xn des variables (indépendantes ou non). On pose alors E(|Xi|) = M1(i). Considérant l'événement :
Kolmogorov a donné de ce même événement la majoration suivante :
Ces trois dernières inégalités supposent l'existence de moments. P. Lévy a établi une inégalité portant sur la même probabilité, mais qui ne suppose l'existence d'aucun moment. Les variables aléatoires X1, ..., Xn étant indépendantes, on posera Sn = X1 + ... + Xn et on désignera par Cn la fonction de concentration de Sn (cf. chap. 3) ; supposons réalisée la condition suivante : les intervalles fermés de longueur égale à ε/2 et de probabilité maximale pour Sn, Sn − Sn − 1, ..., Sn − S1 ont l'origine comme point intérieur. On a alors :
Signalons enfin une inégalité portant sur les fonctions caractéristiques :
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI
Classification
Médias
Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss
Encyclopædia Universalis France
Histogramme de fréquence
Encyclopædia Universalis France
Sortie d'un domaine au hasard
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
PRIX ABEL 2020
- Écrit par Jean-François QUINT
- 1 824 mots
- 2 médias
Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».
Hillel...
-
ACTUARIAT & ACTUAIRES
- Écrit par Georges BLUMBERG
- 157 mots
L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...
-
ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli
- Écrit par Bernard PIRE
- 377 mots
Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....
-
ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance
- Écrit par Jean-Pierre AUDINOT , Encyclopædia Universalis et Jacques GARNIER
- 7 490 mots
- 1 média
Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le... - Afficher les 63 références
