- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
- 3. Instruments de travail
- 4. Lois et fonctions caractéristiques fondamentales
- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
- 8. Lois des grands nombres et théorème central limite
- 9. Certaines lois de probabilités
- 10. Chaînes de Markov et martingales
- 11. Quelques problèmes simples
- 12. Bibliographie
PROBABILITÉS CALCUL DES
Article modifié le
Inégalités et équivalences
La plus ancienne des inégalités utilisées en calcul des probabilités est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; si on pose :
On établit de même, et c'est un résultat très utile pour l'étude des lois des grands nombres, que l'existence du k-ième moment en valeur absolue E(|X|k) équivaut à la convergence des deux séries :
De la définition de la variance d'une variable aléatoire on déduit facilement que la variance de la somme de n variables indépendantes est la somme des variances, d'où, en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
Soit maintenant X1, ..., Xn des variables (indépendantes ou non). On pose alors E(|Xi|) = M1(i). Considérant l'événement :
Kolmogorov a donné de ce même événement la majoration suivante :
Ces trois dernières inégalités supposent l'existence de moments. P. Lévy a établi une inégalité portant sur la même probabilité, mais qui ne suppose l'existence d'aucun moment. Les variables aléatoires X1, ..., Xn étant indépendantes, on posera Sn = X1 + ... + Xn et on désignera par Cn la fonction de concentration de Sn (cf. chap. 3) ; supposons réalisée la condition suivante : les intervalles fermés de longueur égale à ε/2 et de probabilité maximale pour Sn, Sn − Sn − 1, ..., Sn − S1 ont l'origine comme point intérieur. On a alors :
Signalons enfin une inégalité portant sur les fonctions caractéristiques :
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Écrit par
- Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI
Classification
Médias
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Histogramme de fréquence
Encyclopædia Universalis France
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