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PROBABILITÉS CALCUL DES

Topologie aléatoire

Le calcul des probabilités distingue plusieurs sortes de convergences, dont la convergence en loi, la convergence en probabilité et la convergence presque sûre.

Convergence en loi

On dit qu'une suite (Xn) de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire X si les lois des Xn tendent vers la loi de X, sauf peut-être aux points de discontinuité de cette dernière. Comme on l'a vu au chapitre 3, la convergence en loi et la convergence en fonction caractéristique sont équivalentes. Cette convergence, que l'on appelle parfois aussi convergence légale et qui est analogue à la convergence vague de la théorie de la mesure, n'entraîne rien a priori sur la suite des variables Xn elles-mêmes : la suite des lois peut converger sans que la suite des variables converge (en un sens qui va être précisé).

Convergence en probabilité

On dit qu'une suite (Xn) de variables converge en probabilité vers une variable X si :

quel que soit ε > 0. Cette convergence est l'analogue de la convergence en mesure de la théorie de la mesure.

Convergence presque sûre

La convergence presque sûre est l'analogue de la convergence presque partout en théorie de la mesure. Une suite de variables Xn converge presque sûrement (ou presque certainement) vers une variable X si :

quel que soit ε > 0. En utilisant l'inégalité de Boole (cf. chap. 2), on voit que :
on en déduit que la convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité et que la convergence de la série :
conduit à la convergence presque sûre. Si la série (2) converge, on dit parfois que la suite (Xn) converge presque complètement sûrement vers X. Cette condition est en général plus forte que la convergence presque sûre, mais elle lui est équivalente quand les variables Xn − X sont indépendantes dans leur ensemble. En effet, on a, du point de vue ensembliste,
et, d'après la définition de l'indépendance, si les Xn − X sont indépendants, on pourra écrire les égalités :

Donc, si les Xn − X sont indépendants et si Xn converge presque sûrement vers X, le produit infini :

est convergent, ce qui équivaut à la convergence de la série (2), pour tout ε > 0.

Comparaison des convergences

On a donc toute une hiérarchie de convergences : la convergence presque complètement sûre implique la convergence presque sûre, laquelle implique la convergence en probabilité, celle-ci entraînant la convergence en loi (ce dernier fait s'établit facilement). Signalons que, si X est une variable certaine, la convergence en loi de Xn vers X conduit à la convergence en probabilité de Xn vers X. Si, d'autre part, tous les Xn sont des variables certaines, toutes ces convergences sont confondues au sens ordinaire de la convergence en analyse certaine. Le calcul des probabilités est donc, à ce point de vue, une extension de l'analyse certaine.

Voici maintenant un mode de convergence qui est fréquemment utilisé en calcul des probabilités en raison de la très grande importance des espaces de fonctions de carré sommable. On dit qu'une suite de variables aléatoires Xnconverge en moyenne quadratique vers la variable X si :

il résulte de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (cf. chap. 6) que, si la suite Xn converge en moyenne quadratique vers X, alors Xn converge en probabilité vers X. La réciproque n'est pas exacte : la suite Xn peut même converger en probabilité vers X sans que les variables Xn − X aient un moment d'ordre 2.

On peut établir les deux théorèmes suivants, attribués à Slutsky :

Théorème 1. Si une suite (Xn) converge en probabilité vers X, on peut extraire de cette suite une suite partielle convergeant presque complètement sûrement.

Théorème 2. Si une suite de variables Xn converge mutuellement en probabilité, c'est-à-dire est telle que, quel que soit ε > 0, il existe[...]

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  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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