PROBABILITÉS CALCUL DES

Lois des grands nombres et théorème central limite

Les théorèmes qui vont être énoncés maintenant sont des applications de toutes les notions précédentes. Ils sont très utiles dans les problèmes d'estimation.

Lois des grands nombres

Les « lois des grands nombres » concernent des ensembles de n variables aléatoires X₁, ..., X_n indépendantes, ayant même loi de probabilité (isonomes, selon un mot récemment introduit dans la terminologie) ; le vocabulaire anglo-saxon désigne un tel ensemble sous le nom de sample, qui signifie échantillon. On a ainsi une cascade de théorèmes de plus en plus « fins » concernant le comportement de la moyenne :

de ces n variables aléatoires.

Théorème 1. Pour que (ΣX_i)/n converge en probabilité vers a certain, il est nécessaire et suffisant que la fonction caractéristique ϕ(u) de la variable soit dérivable à l'origine avec a = − iϕ′(0), ce qui se traduit sur la fonction de répartition F(x) par l'ensemble des deux conditions :

Théorème 2. Pour que (ΣX_i)/n converge presque sûrement vers a certain, il est nécessaire et suffisant que :

et que, de plus,

converge. Sur la fonction de répartition, ces conditions se traduisent par le fait que l'intégrale :

est convergente, avec :

Théorème 3. Pour que (ΣX_i)/n converge presque complètement sûrement vers a certain, il est nécessaire et suffisant que − iϕ′(0) = a et que la fonction caractéristique ait une dérivée seconde. Pour la fonction de répartition, cela entraîne l'égalité :

et la convergence de :

Un cas particulier important est celui de la variable de Bernoulli qui décrit une épreuve de pile ou face (cf. chap. 4). Dans ce cas, X₁ + ... + X_n est le nombre aléatoire de fois où l'on aura obtenu face au cours de n épreuves et :

sera la fréquence de face au cours de ces n épreuves. Cette variable étant bornée, les moments de tous ordres existent et les trois théorèmes précédents peuvent s'appliquer, le nombre a étant ici égal à la probabilité p d'obtenir face. Le premier théorème signifie que l'on peut trouver N tel que, si n est supérieur à N, il y a une probabilité arbitrairement petite pour que |f_n − p|> ε, quel que soit ε > 0. Le deuxième implique qu'il y a une probabilité égale à 1 pour que la suite infinie des fréquences f₁, f₂, ..., f_n, ... tende vers p. Enfin, le troisième indique qu'il y a encore une probabilité égale à 1 pour que la suite f ₁⁽¹⁾, f ₂⁽²⁾, ..., f _n⁽ⁿ⁾, ... des fréquences tende vers p, la fréquence f _n₍_n₎ étant calculée sur des « paquets » de n épreuves entièrement nouvelles pour chaque valeur de l'indice. On voit donc que la fréquence f_n peut être considérée comme une estimation de la grandeur inconnue p. Nous avons évoqué ce problème dans le chapitre 2 consacré aux bases concrètes du calcul des probabilités.

Théorème central limite et loi de Poisson

Le théorème central limite est un théorème de convergence en loi (cf. chap. 7). Soit encore n variables constituant un échantillon, la fonction caractéristique des variables ayant une dérivée nulle à l'origine et une dérivée seconde ϕ″(0) = − σ² (ce qui implique l'existence d'un moment d'ordre 2 égal à σ²). La fonction caractéristique de :

est égale à :

sous les conditions indiquées, elle tend vers :

quand n augmente indéfiniment. D'après ce que l'on a vu au chapitre 3, la loi de la variable aléatoire (3) tend donc vers la loi de Laplace-Gauss :

De nombreuses extensions, en particulier celle de Liapounov, ont été données à ce résultat : elles concernent des hypothèses moins restrictives sur les lois des variables X_i. Cette loi de Laplace-Gauss est d'un emploi fréquent en physique et en particulier en métrologie ; on l'appelle souvent loi des erreurs : c'est la loi[...]

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Écrit par

Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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