- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
- 3. Instruments de travail
- 4. Lois et fonctions caractéristiques fondamentales
- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
- 8. Lois des grands nombres et théorème central limite
- 9. Certaines lois de probabilités
- 10. Chaînes de Markov et martingales
- 11. Quelques problèmes simples
- 12. Bibliographie
PROBABILITÉS CALCUL DES
Certaines lois de probabilités
Lois sur les histogrammes
Dans le chapitre précédent, nous avons introduit la notion d'histogramme de fréquence et nous avons vu qu'il y a une probabilité égale à 1 pour que la suite des Hn(x) converge presque complètement sûrement vers F(x). Quand F(x) est continue, on peut donner sur cette convergence des précisions supplémentaires. On peut mesurer l'écart de Hn(x) à F(x) de bien des façons. Deux d'entre elles se prêtent très aisément aux calculs aboutissant à la loi de probabilité ou à la fonction caractéristique ; on peut retenir les formules suivantes :
La loi de Kolmogorov-Smirnov est le théorème suivant : Si F(x) est continue, on a :
La loi de von Mises-Smirnov s'énonce ainsi : Si F(x) est continue, la fonction caractéristique de la variable aléatoire :
La deuxième égalité du théorème de Kolmogorov-Smirnov rattache de façon assez singulière la loi de répartition de la probabilité aux fonctions θ de Jacobi, sous-produit de la théorie des fonctions elliptiques. Si on considère le carré de la variable aléatoire de Kolmogorov-Smirnov, soit :
On a cherché à étendre ces théorèmes à plusieurs dimensions. Le théorème de Kolmogorov-Smirnov n'a pas reçu d'extension : on ignore la forme de la loi de l'écart maximum entre l'histogramme des fréquences et la fonction de répartition dans Rn, pour n > 1. Par contre, D. Dugué a pu donner la forme de la fonction caractéristique de la variable généralisant celle de von Mises-Smirnov. Appelons Φp(u) le produit infini :
On a dressé des tables de toutes ces lois. Elles présentent cette particularité d'être indépendantes de la loi F dont on construit l'histogramme.
Considérons maintenant n variables de Bernoulli X1, X2, ..., Xn indépendantes, pour lesquelles p = q = 1/2, les deux valeurs équiprobables prises par la variable étant + 1 et − 1, et soit Si = X1 + ... + Xi. Ces sommes permettent de définir un nombre aléatoire K, nombre de sommes positives ou nulles. La limite de la loi de probabilité de K/n a une forme particulièrement simple : elle est égale à :
On a un résultat encore plus simple dû à B. V. Gnedenko. Revenons à l'histogramme Hn(x) d'un échantillon dont chaque variable obéit à la loi continue F(x) et considérons l'ensemble des x pour lesquels on a Hn(x) > F(x) ; cet ensemble aura une probabilité Πn qui est un nombre aléatoire compris entre 0 et 1. Le théorème de Gnedenko énonce que :
Lois dérivées de la loi de Laplace-Gauss
Cet ensemble de lois de répartition est particulièrement utile dans la partie de la statistique appelée l'analyse de variance. La loi de probabilité du carré d'une loi de Laplace-Gauss a pour fonction caractéristique :
La loi de probabilité du quotient de deux sommes de carrés de variables aléatoires de Laplace-Gauss de valeur moyenne nulle et de même variance, toutes ces variables étant indépendantes,[...]
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Écrit par
- Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI
Classification
Médias
Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss
Encyclopædia Universalis France
Histogramme de fréquence
Encyclopædia Universalis France
Sortie d'un domaine au hasard
Encyclopædia Universalis France
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