VARIATIONS CALCUL DES
L'étude d'une fonction à valeurs réelles comporte en particulier la détermination de ses extrémums. C'est là un des objets du calcul différentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace numérique ; c'est l'objet de ce qu' Euler a appelé le calcul des variations lorsque cette source est un espace fonctionnel.
On rencontre déjà dans la plus haute antiquité des problèmes d'une telle nature. La légende ne veut-elle pas que Didon, lorsqu'elle fonda Carthage, ait délimité la plus grande étendue qu'elle pût circonscrire à l'aide de lanières découpées dans la peau d'un taureau ? Et il est bien connu que les Grecs caractérisaient un segment de droite comme la ligne de plus petite longueur joignant ses extrémités.
Ce n'est cependant qu'au xviiie siècle, à la suite de l'essor du calcul infinitésimal, qu'Euler et Lagrange établirent les fondements du calcul des variations et donnèrent une première condition d'extrémum. Cette équation d'Euler-Lagrange allait jouer un rôle très important, surtout en physique, où elle justifiait les principes variationnels : principe de Fermat pour la propagation de la lumière dans les milieux différemment réfringents ; principes de moindre action de Maupertuis et Hamilton pour la détermination des mouvements en mécanique analytique.
La recherche de conditions d'extrémum se poursuivit aux xviiie et xixe siècles, notamment avec les travaux de Legendre, Jacobi et Weierstrass, pour aboutir au début du xxe siècle à une théorie bien élaborée que l'on situe aujourd'hui dans le cadre du calcul différentiel au sens de Fréchet dans les espaces de Banach. Mais de difficiles problèmes relatifs à l'existence de ces extrémums restent encore ouverts.
Plus récemment, les travaux de Morse relancèrent l'intérêt porté au calcul des variations. Utilisant à la fois des techniques d'analyse fonctionnelle, de topologie algébrique et de topologie différentielle, ils sont à l'origine de ce qu'on appelle maintenant l'analyse différentielle globale, une des théories carrefours de la mathématique actuelle.
Il faut enfin mentionner le contrôle optimal, terminologie d'origine anglo-saxonne fréquemment remplacée par « commande optimale ». Par ses problèmes d'optimisation de fonctionnelles sur des espaces de solutions d'équations différentielles avec paramètres de contrôle, il s'intègre en effet au calcul de variations. Mais la recherche de solutions qui peuvent être discontinues y conduit au développement de techniques fort différentes ; on n'en parlera pas ici.
Quelques problèmes classiques
La brachistochrone
On considère dans le champ de la pesanteur deux points A et B et un point matériel M se déplaçant sans frottement sur une courbe d'extrémités A et B. Déterminer la courbe, appelée brachistochrone, pour laquelle le temps de parcours est minimal lorsque le point M part du point A avec une vitesse nulle.
Ce problème, dont la solution est en général un arc de cycloïde, avait déjà été considéré par Galilée, qui avait remarqué que ce minimum n'était pas réalisé par le segment de droite. Résolu en 1697, en particulier par Jean Bernoulli, Jacques Bernoulli et Newton, il allait attirer l'attention des mathématiciens de l'époque sur les problèmes variationnels.
En admettant que sa solution soit une courbe plane ayant une équation de la forme y = f (x), on peut en donner la formulation analytique suivante : Déterminer la fonction continûment dérivable y = f (x) vérifiant les conditions f (x0) = y0 et f (x1) = y1 qui minimise l'intégrale :
La surface minimale de révolution
Étant donné dans un plan Π un axe Δ et deux points A et B situés d'un même côté de Δ, déterminer la courbe du plan Π, d'extrémités[...]
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Écrit par
- Claude GODBILLON : professeur à l'université Louis-Pasteur, Strasbourg
Classification
Média
Condition de Weierstrass
Encyclopædia Universalis France
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