VARIATIONS CALCUL DES
Présentation analytique d'un problème variationnel
À la lumière des exemples qui viennent d'être présentés, on peut donner la formulation suivante d'un problème variationnel simple de dimension 1 à extrémités fixes.
Soit D l'espace affine des fonctions f à valeurs réelles continûment dérivables sur l'intervalle[a, b]et vérifiant f (a) = α et f (b) = β. L'espace vectoriel E associé à cet espace affine peut s'interpréter comme l'espace des fonctions ω continûment dérivables sur[a, b]et vérifiant ω(a) = ω(b) = 0.
On munit l'espace D des deux topologies C0 et C1 définies respectivement par les normes de la convergence uniforme :
La topologie C1 est plus fine que la topologie C0.
Soit F(x, y, y′) une fonction à valeurs réelles deux fois continûment différentiable sur l'espace[a, b] × R × R. On peut lui associer la fonctionnelle J sur D déterminée par :
On dit alors qu'une fonction f de D est une solution du problème variationnel correspondant à la fonction F si elle est un minimum de J sur D, c'est-à-dire si l'on a J(f ) ≤ J(g) pour tout g ∈ D. On dit également que f est un minimum relatif faible (resp. fort) de J s'il existe ε > 0 tel que l'on ait J(f ) ≤ J(g) pour tout g ∈ D vérifiant ∥f − g∥1 ≤ ε (resp. ∥f − g∥ ≤ ε).
Naturellement un minimum au sens fort est également un minimum au sens faible. Mais cette distinction se trouve justifiée par le fait que la fonction J, qui est continue pour la topologie C1, ne l'est pas en général pour la topologie C0.
On peut maintenant, avec J. L. Lagrange, considérer un élément ω de E comme une « variation » de la fonction f de D en introduisant la fonction g = f + ω. La formule de Taylor permet alors d'écrire, à des termes d'ordres supérieurs près (pour la norme ∥.∥1), la variation J(g) − J(f ) sous la forme :
On peut donc dire que la fonctionnelle :
On a ainsi démontré qu'une condition nécessaire pour que f soit un minimum relatif faible (et a fortiori fort) de J est que l'on ait δJ[f ] = 0.
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Écrit par
- Claude GODBILLON : professeur à l'université Louis-Pasteur, Strasbourg
Classification
Média
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