VARIATIONS CALCUL DES

Équation d'Euler-Lagrange

Si l'on suppose que f est un minimum relatif faible de J deux fois continûment dérivable, on peut transformer l'expression de δJ[f ]en intégrant par partie le second terme. On obtient ainsi :

Ce qui conduit à l'équation donnée par Euler en 1744 :

Théorème 1. Une condition nécessaire pour qu'une fonction f deux fois continûment dérivable soit un minimum relatif faible de J est qu'elle vérifie l'équation :

Ce résultat est une conséquence immédiate du lemme suivant :

Lemme 1. Soit h une fonction continue sur[a, b]. Si l'on a :

pour toute fonction ε continûment dérivable sur[a, b]et vérifiant ε(a) = ε(b) = 0, on a h = 0 sur[a, b].

Démonstration du lemme 1. Supposons que la fonction h soit, par exemple, positive en un point x₀ de ]a, b[. On peut alors trouver un intervalle[c, d]contenant x₀ sur lequel h est positive.

Si l'on désigne par ε la fonction égale à (x − c)² (d − x)² sur[c, d]et nulle en dehors de[c, d], on a dans ces conditions :

qui est en contradiction avec les hypothèses ; par conséquent h est nulle sur[a, b]. La démonstration est terminée.

L'équation d'Euler-Lagrange peut s'écrire :

c'est une équation différentielle du second ordre et sa solution dépend de deux constantes arbitraires, qui sont en général déterminées par les conditions limites en a et en b. Cette situation diffère donc du problème classique de Cauchy, qui consiste à déterminer une solution d'une équation différentielle du second ordre par sa valeur et celle de sa dérivée en un point.

Exemple 1. Lorsque la fonction F est indépendante de x, l'équation d'Euler-Lagrange admet l'intégrale première F − y′F′_y_′ = C^te.

On en déduit par exemple que, pour le problème de la surface minimale de révolution, ses solutions sont, dans les bons cas, les chaînettes :

Remarque 1. On a supposé ici que le minimum f était deux fois continûment dérivable. En fait, une étude plus fine, due à P. Du Bois-Reymond, permet de montrer que, si f est une fois continûment dérivable, la fonction F′_y_′(x, f (x), f ′(x)) est dérivable et que sa dérivée est égale à F′_y(x, f (x), f ′(x)) ; autrement dit, f satisfait encore l'équation d'Euler-Lagrange.

On peut de plus vérifier qu'elle est alors deux fois dérivable en tout point où l'on a F″_y_′_y_′(x, f (x), f ′(x)) ≠ 0. Ainsi l'hypothèse de départ n'était pas trop restrictive.

Remarque 2. Certains problèmes variationnels, par exemple celui qui correspond à la fonction F = y′²(1 − y′)², n'ont pas de solutions dans l'espace D. On est ainsi amené à élargir cet espace en l'espace D′ des fonctions f continues et continûment dérivables par morceaux sur[a, b], c'est-à-dire que f est continue sur[a, b]et qu'il existe une suite a₀ = a < a₁< ... < a_n = b telle que f soit continûment dérivable sur chacun des intervalles[a_i, a_i₊₁].

On peut encore montrer qu'un minimum relatif f de J dans D′ satisfait l'équation d'Euler-Lagrange sur chacun des intervalles où elle est continûment dérivable (c'est une conséquence immédiate de la formule de Chasles pour les intégrales) et vérifie de plus les conditions suivantes, dues à K. Weierstrass et à G. Erdmann : en chaque point de[a, b]les limites à gauche et à droite de :

ainsi que celles de :

sont égales.

En utilisant le théorème de Rolle, on déduit de cette première condition qu'en un point de discontinuité c de f ′ la fonction F″_y_′_y_′(c, f (c), y′) à un zéro. Par conséquent, si F″_y_′_y_′(x, y, y′) est sans zéro, tout minimum de J dans D′ est deux fois continûment dérivable.

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Écrit par

Claude GODBILLON : professeur à l'université Louis-Pasteur, Strasbourg

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