VARIATIONS CALCUL DES

Théorie de Morse

Dans son aspect classique, la théorie de Morse ne fait pas partie du calcul des variations. Elle concerne en fait l'étude des fonctions différentiables sur les variétés et permet, en particulier, de donner des décompositions des variétés jouant en topologie différentielle le rôle que jouent les décompositions simpliciales en topologie combinatoire (cf. topologie - Topologie algébrique, chap. 2). C'est en utilisant cette technique que S. Smale démontra, en 1962, la conjecture de Poincaré en dimensions supérieures à 5.

Si f est une fonction différentiable à valeurs réelles sur une variété M, on dit qu'un point z de M est un point critique de f s'il annule sa différentielle df, ce qui s'exprime, dans un système de coordonnées locales x₁, ..., x_n tel que x_i(z) = 0, par les conditions :

Ce point critique est non dégénéré si le hessien H(f ) de f en z, c'est-à-dire la forme quadratique définie par la matrice :

est de rang maximum. L'index de z est alors le nombre de valeurs propres négatives du hessien.

Le lemme de Morse assure que, si z est un point critique non dégénéré d'index p, il existe un système de coordonnées locales y₁, ..., y_n avec y_i(z) = 0 tel que l'on ait :

ce qui montre en particulier que les points critiques non dégénérés sont isolés. On peut déduire de cette expression que, si a et b ne sont pas des valeurs critiques de f, et si l'intervalle ]a, b[ contient une seule valeur critique, correspondant à un seul point critique z, non dégénéré, on obtient la sous-variété M_b = f ^-1 (]− ∞, b]) en recollant à la sous-variété M_a = f ^-1 (]− ∞, a]) une « anse » D^p× D^n-p d'indice p, où p est l'index de z, au moyen d'une application différentiable de S^p-1× D^n-p dans le bord de M_a. La variété M_b a donc le type d'homotopie de l'espace obtenu en recollant à M_a une cellule de dimension p. On en déduit par exemple que le q-ième nombre de Betti de M est inférieur au nombre de points critiques d'index q de f.

L'originalité de Morse fut alors de montrer, en 1934, que, sur une variété riemannienne M, on pouvait raisonner de façon analogue pour l'espace Ω(M ; p, q) = Ω des courbes C∞ par morceaux joignant p à q (qui est une variété banachique) et la fonction E : Ω → R définie par :

qui est différentiable sur Ω.

On se trouve ici devant un problème variationnel pour lequel les solutions de l'équation d'Euler-Lagrange, qui sont les points critiques de E, sont les géodésiques C∞ joignant p à q (cf. Remarques 1 et 2). Le hessien de E pour une géodésique γ est la variation seconde de E en γ, et γ est un point critique non dégénéré de E si et seulement si cette variation seconde est une forme définie. On peut montrer qu'il en est ainsi si le point q n'est pas conjugué du point p (en un sens qui généralise directement celui du chapitre 5) le long de γ.

Dans ces conditions, le plus grand sous-espace sur lequel le hessien est défini négatif est de dimension finie, et sa dimension est égale au nombre de points conjugués de p sur γ comptés avec leur ordre de multiplicité (puisque l'équation de Jacobi est dans ce cas une équation linéaire du second ordre et de dimension n, cette multiplicité est toujours inférieure à n).

Le résultat central de la théorie de Morse assure alors que, si p et q ne sont conjugués le long d'aucune géodésique, l'espace Ω a le type d'homotopie d'un complexe simplicial (cf. topologie - Topologie algébrique, chap. 2) dénombrable ayant une cellule de dimension d pour chaque géodésique d'index d joignant p à q (en fait, ce type d'homotopie est un invariant topologique de la variété).

Par exemple, les géodésiques de la sphère euclidienne sont les arcs de grands cercles, et[...]