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CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à plusieurs variables

Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xxe siècle.

Ce n'est qu'aux environs de 1930 que sont abordés les problèmes difficiles de cette branche de l'analyse, très utilisée depuis lors.

La préhistoire

Le formalisme des dérivées partielles

Avant d'étudier le comportement d'une fonction f (x,y) de deux variables, lorsque x et y varient simultanément et indépendamment, on commence par faire varier x et y successivement. Fixons la valeur de y : la dérivée de la fonction x ↦ f (x,y), lorsqu'elle existe, s'appelle la dérivée partielle ∂f/∂x (x,y) de f par rapport à x (à y constant). La notation utilisant le ∂ pour désigner la dérivation partielle, par opposition au d désignant la dérivation ordinaire, a été préconisée par Legendre (1786) et vulgarisée par Jacobi (1841). Si, maintenant, on fait varier x et y en fonction d'une même variable t, on trouve que :

ce qui fait apparaître les dérivées partielles de f comme des intermédiaires de calcul commodes.

Les dérivées partielles apparaissent, en 1755, dans le traité Institutiones calculi differentialis d' Euler, et, en 1747, chez A.  Clairaut. Ils y ont reconnu l'outil de base du calcul différentiel à plusieurs variables. Malheureusement, cette notion est essentiellement liée au choix d'un système de coordonnées.

Par exemple, considérons les formules W = RI2 = EI = E2/R, qui traduisent un cas particulier des lois d' Ohm en électricité. On constate que le symbole ∂W/∂I est égal à 2 RI, E ou 0 selon l'expression de W que l'on adopte. L'explication de ce paradoxe vient de ce que la dérivation par rapport à I n'a pas la même signification selon que l'on opère à R constant (et E variable), ou à E constant (et R variable) et enfin si l'on fixe E et R.

S'inspirant de ce que Leibniz avait fait pour la différentielle des fonctions d'une variable, Euler et Clairaut étudièrent une expression remarquable, la différentielle totale  :

c'est une fonction de quatre variables indépendantes x,y,dx,dy (linéaire par rapport aux deux dernières). Cette expression possède un caractère invariant lorsqu'on la soumet à des changements de variables du type particulier suivant : si l'on exprime x et y en fonction de nouvelles variables X,Y au moyen des formules x = x (X,Y), y = y (X,Y), et si l'on effectue, en même temps, le changement de variables « covariant », selon les formules :
on constate que la différentielle totale de f prend la même forme (2) que l'on exprime df à l'aide de x,y,dx et dy ou à l'aide de X,Y, dX et dY.

Les dérivées partielles sont susceptibles d'être dérivées partiellement à leur tour. On obtient ainsi les dérivées partielles secondes :

que Jacobi note respectivement :

Euler et Clairaut avaient déjà constaté que le résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les dérivations (pour autant que ces auteurs n'opéraient tacitement que sur de « bonnes fonctions », c'est-à-dire des fonctions que nous nommons aujourd'hui analytiques), soit :

À titre de preuve, Euler se borne à invoquer la symétrie de l'expression :

et Clairaut opère formellement sur un développement en série.

Une combinaison linéaire à coefficients complexes de dérivations partielles s'appelle un opérateur différentiel linéaire à coefficients constants (par exemple :

où A, B, C sont des nombres complexes). Ces opérateurs sont susceptibles d'être ajoutés et composés entre eux : il en résulte une structure algébrique sur l'ensemble des opérateurs différentiels à coefficients constants qu'en langage[...]

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