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CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à plusieurs variables

Exposé moderne de la théorie élémentaire

Dérivée première

Soit E et F deux espaces normés, et Ω un ensemble ouvert de E : on dit que deux fonctions continues f et g (définies sur Ω et à valeurs dans F) admettent un contact d'ordre r (où r est un nombre entier) au point A ∈ Ω si le rapport :

tend vers 0 lorsque M tend vers A. En particulier, lorsque r = 1 on dit que f et g sont tangentes au point A ; cette définition implique que f (A) = g (A).

Une fonction continue f (définie sur Ω et à valeurs dans F) est dérivable en A ∈ Ω, s'il existe une fonction continue affine :

(où L est une application linéaire continue de E dans F, c'est-à-dire un élément de L(E,F) qui est tangente à f au point A). L s'appelle aujourd'hui la dérivée de f au point A (dans l'ancienne terminologie, c'était la «   différentielle au sens de Stolz-Fréchet » ou plus brièvement la différentielle de f au point A). On la note d'ordinaire D1f (A). Lorsque f est dérivable en tout point de Ω, la fonction dérivée est l'application A ↦ D1f (A) définie dans Ω et à valeurs dans L(E,F). On dit que f est continûment dérivable (ou encore de classe C1) si la fonction dérivée est continue, lorsqu'on munit L(E,F) de sa norme usuelle :

Dans le cas particulier où E = Rn et F = R, toute fonction de classe C1 admet des dérivées partielles continues et la dérivée de f au point de coordonnées (x1, x2, ..., xn) est la forme linéaire qui associe au vecteur de coordonnées (dx1, dx2, ..., dxn) le nombre :

la dérivée coïncide donc avec la « différentielle totale » d'Euler (cf. chap. 1).

Lorsque E = Rn et F = Rp  la fonction f est définie par p fonctions numériques f1, f2,..., fp. La dérivée de f en un point de coordonnées (x1, x2, ..., xn) est, lorsqu'elle existe, l'application linéaire appartenant à L(Rn, Rp) définie par la matrice jacobienne des fonctions fj ( j ≤ p) par rapport aux variables xi (i ≤ n).

Une fonction qui possède des dérivées partielles en chaque point de Ω n'est pas nécessairement dérivable, comme le montre l'exemple de la fonction scalaire :

(prolongée par f (0, 0) = 0). Son graphe est un demi-cône dont le sommet est à l'origine ; il ne possède donc pas de plan tangent en ce point. Par contre, on montre que toute fonction qui admet des dérivées partielles continues par rapport à l'ensemble des variables est nécessairement dérivable.

Dérivées successives

Supposons que la fonction dérivée M ↦ D1f (M) soit elle-même dérivable : sa dérivée D1(D1f)(M) appartient à L[E, L(E,F)]. On peut l'identifier à une application bilinéaire continue de E × E dans F, et dans ce cas on l'appelle la dérivée seconde de f au point M et on la note D2f (M). On peut ainsi définir les dérivées successives de proche en proche.

On peut également donner une définition directe des fonctions r fois continûment dérivables (ou de classe Cr) en utilisant la notion de polynôme défini sur E et à valeurs dans F. Désignons par Lk (E,F) l'espace vectoriel des applications continues k-linéaires, symétriques, définies sur (E)k et à valeurs dans F. En d'autres termes Lk ∈ Lk(E, F) est une application :

séparément linéaire par rapport à chaque argument, invariante lorsqu'on permute arbitrairement les vecteurs Vi entre eux, et telle que ∥Lk [V1, V2, ..., Vk] ∥F reste borné lorsque les vecteurs Vi restent tous dans la boule unité de E. Un monôme de degré k défini dans E et à valeurs dans F est alors par définition une fonction de point :
remarquons que lorsque E est de dimension finie et que l'on exprime OM à l'aide de ses composantes, on n'obtient pas un monôme ordinaire, mais un polynôme homogène de degré k ayant pour coefficients[...]

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