CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Créée au xvii^e siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au xviii^e, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l'analyse infinitésimale a, depuis longtemps, atteint un degré de perfection tel qu'il est devenu possible d'en exposer l'essentiel en moins d'une dizaine de pages. C'est ce que nous allons essayer de faire, en renvoyant le lecteur à l'article qui précède pour des considérations historiques moins schématiques, et en nous plaçant ici au point de vue le plus « unidimensionnel » possible. Le lecteur qui désirerait un exposé plus philosophique et plus historique ne saurait mieux faire que de consulter l'ouvrage classique d'Otto Toeplitz. On n'a voulu, ici, exposer que les résultats les plus importants et les plus simples de la théorie classique à une variable, en s'efforçant de tout démontrer, et en ne demandant du lecteur que les connaissances les plus élémentaires sur les inégalités entre nombres décimaux, plus tout de même, cela va sans dire, une certaine habitude des raisonnements mathématiques.

Notion de borne supérieure

Nous désignerons par R l'ensemble des nombres réels  ; il nous suffira de savoir qu'un nombre réel est un développement décimal illimité précédé d'un signe (qu'on omet s'il s'agit du signe +), par exemple le nombre − 3,141 59. ... ou bien le nombre 1 = 1,000 0.. ... = 0,999 99. ..., et que l'on peut effectuer sur ces nombres des opérations algébriques que tout le monde connaît. On peut aussi comparer deux nombres réelsx et y, autrement dit donner un sens à la relation x < y (qui exclut, notons-le, l'égalité x = y). On peut, à partir de là, définir des intervalles de plusieurs natures ; par exemple, si a et b sont deux nombres réels donnés, on définit quatre intervalles dont a et b sont les extrémités, et qui ne diffèrent entre eux que dans la mesure où ils contiennent, ou non, leurs extrémités : l'intervalle[a, b]est l'ensemble des nombres x tels que a ≤ x ≤ b, l'intervalle[a, b[ est formé des x tels que a ≤ x < b, etc. Les intervalles de la forme[a, b]sont dits compacts, et les intervalles de la forme ]a, b[ sont dits ouverts.

Considérons maintenant un ensemble E de nombres réels. On dit qu'il est borné supérieurement s'il existe un nombre réel M tel que l'on ait x ≤ M pour tout x ∈ E (rappelons que cette notation signifie que le nombre x appartient à E, ou est un élément de E), et borné inférieurement s'il existe un nombre m tel que l'on ait m ≤ x pour tout x ∈ E. Si E est borné supérieurement et inférieurement (c'est-à-dire s'il existe un intervalle compact qui contient E), on dit que E est borné tout court. Par exemple, l'ensemble N des entiers naturels (ses éléments sont 0, 1, 2, ...) est borné inférieurement, mais non supérieurement, tandis que l'ensemble des nombres rationnels x tels que x³< 2 est borné supérieurement (en effet x³< 2 implique x³≤ 8 = 2³, d'où x ≤ 2, comme on le voit facilement).

Soit E un ensemble borné supérieurement, et soit M un nombre tel que x ≤ M pour tout x ∈ E. S'il existe un nombre M′ < M tel que l'on ait aussi x ≤ M′ pour tout x ∈ E, on obtient des informations plus précises sur les éléments de E en écrivant qu'ils sont tous inférieurs à M′, qu'en écrivant qu'ils sont tous inférieurs à M (exemple concret : savoir que tout homme vit au plus 500 ans est mieux que rien, mais il vaut mieux savoir que tout le monde meurt avant 200 ans). Pour obtenir, de ce point de vue, les informations les plus précises possibles sur E, on est donc amené à choisir[...]