CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Intégrale d'une fonction étagée

Considérons, sur un intervalle compact X = [a, b], une fonction f (x) à valeurs réelles ; nous la supposerons même, pour le moment, à valeurs positives. Si l'on trace le graphe de f, on obtient dans le plan une « courbe », l'ensemble des points (x, y) tels que l'on ait x ∈ X et y = f (x), qui délimite avec l'axe des abscisses et les verticales des points a et b une portion de plan dont on se propose de calculer la surface (dans l'hypothèse où la portion en question serait assez simple pour que l'on puisse attribuer une signification à ce calcul).

Fonction étagée - crédits : Encyclopædia Universalis France — Fonction étagée
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Les surfaces les plus simples à calculer sont celles des rectangles. On est ainsi amené à envisager d'abord un cas particulier, celui où l'on peut découper l'intervalle donné X en intervalles partiels X₁, ..., X_ptels que la fonction f (x) prenne, dans chaque X_k, une valeur constante a_k ; noter que nous n'excluons aucunement le cas où certains X_k se réduiraient à un point, et que nous n'imposons pas aux X_k d'être compacts − certains X_kpeuvent contenir leurs extrémités, d'autres ne pas les contenir. Le graphe de la fonction f se compose alors de segments de droite horizontaux, et on dit que f est une fonction étagée. La portion de plan comprise entre le graphe et l'axe des x est alors réunion de p rectangles ayant pour bases les intervalles X_k, et pour hauteurs les valeurs a_k correspondantes. Supposant, ce qui est permis, les intervalles X_k deux à deux disjoints (c'est-à-dire sans points communs), nous appellerons alors, par définition, intégrale de f sur l'intervalle X le nombre :

où l(X) désigne, d'une manière générale, la longueur d'un intervalle X. Le nombre I( f ) ainsi obtenu dépend naturellement de la fonction f considérée, mais non du découpage de l'intervalle X en intervalles partiels X_k sur lesquels f est constante ; si, en effet, l'on découpe, d'une autre façon, X en intervalles deux à deux disjoints Y₁, ..., Y_q sur lesquels f prend les valeurs b₁, ... b_q, de sorte que nous devons prouver que :

il est clair que chaque X_k est réunion de ses intersections X_k∩ Y_havec les divers Y_h ; ces intersections sont des intervalles deux à deux disjoints ; on a donc :

d'où il résulte aussitôt que le premier membre de (2) est la somme de tous les nombres de la forme a_kl(X_k∩ Y_h), le second étant, de même, somme de tous les nombres b_hl (X_k∩ Y_h). Il suffit donc de montrer que l'on a a_kl(X_k∩ Y_h) = b_hl(X_k∩ Y_h) quels que soient k et h. Or la fonction f est égale, sur l'intersection X_k∩ Y_h, à la fois à a_k et à b_h ; si l'intersection n'est pas vide, on a donc a_k= b_h et le résultat s'ensuit ; si l'intersection est vide, on a l(X_k∩ Y_h) = 0, et le résultat cherché s'écrit 0 = 0 ; d'où la relation (2).

Nous utiliserons encore la relation (1) pour définir I( f ) lorsque la fonction f n'est plus positive.

Les intégrales des fonctions étagées possèdent des propriétés simples dont nous aurons besoin plus loin. Tout d'abord, si f et g sont deux fonctions étagées sur le même intervalle compact X, alors la fonction h = f + g donnée par h(x) = f (x) + g(x) pour tout x ∈ X est encore étagée, et l'on a la relation :

En effet, si l'on partage X en intervalles X_i deux à deux disjoints, sur lesquels f prend des valeurs constantes a_i(1 ≤ i ≤ p), et en intervalles deux à deux disjoints Y_j, sur lesquels g prend des valeurs constantes b_j(1 ≤ j ≤ q), il est clair que X est réunion des pq intervalles X_i∩ Y_j, que f + g prend sur X_i∩ Y_j la valeur constante a_i+ b_j (d'où le fait que f + g soit étagée), et enfin que I ( f + g) est la somme[...]

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Écrit par

Roger GODEMENT : professeur à l'université de Paris-VII

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