CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Intégration des fonctions réglées

Considérons maintenant le cas général ; nous ne supposons plus que la fonction f soit étagée, mais nous supposerons, pour éviter des difficultés secondaires, qu'elle est bornée, c'est-à-dire qu'il existe un nombre M tel que l'on ait − M ≤ f (x) ≤ M pour tout x ∈ X ; pour le moment, supposons aussi f (x) ≥ 0 pour tout x. Soit ϕ′ et ϕ″ des fonctions étagées telles que l'on ait 0 ≤ ϕ′(x) ≤ f (x) ≤ ϕ″(x) pour tout x (il en existe : prendre ϕ′(x) = 0 partout, et ϕ″(x) = M partout, par exemple). L'aire limitée par l'axe des x et le graphe de f contient l'aire analogue relative à ϕ′, et est contenue dans l'aire analogue relative à ϕ″ ; si l'on peut attribuer un sens raisonnable à l'intégrale I( f ) de la fonction f, on doit donc avoir la relation :

On est alors conduit, que f soit ou non positive, à introduire deux ensembles E_* et E* de nombres réels : le premier sera formé des x tels qu'il existe une fonction étagée ϕ′ sur X telle que l'on ait x = I(ϕ′) et ϕ′ ≤ f (c'est-à-dire ϕ′(t) ≤ f(t) pour tout t ∈ X) ; le second sera l'ensemble des nombres réels x pour lesquels on peut trouver sur X une fonction étagée ϕ″ vérifiant les relations f ≤ ϕ″, et x = I(ϕ″). La relation (6) exprime que le nombre I( f ) cherché est supérieur à tout x ∈ E_*, et inférieur à tout x ∈ E*. Or l'ensemble E* est borné inférieurement et E_* l'est supérieurement (les éléments de E_* sont évidemment inférieurs à ceux de E*, puisque la relation ϕ′ ≤ ϕ″, pour des fonctions étagées, implique visiblement l'inégalité I(ϕ′) ≤ I(ϕ″) entre leurs intégrales). Si nous désignons par m la borne supérieure de l'ensemble E_*, et par M la borne inférieure de l'ensemble E*, la relation (6) exprime que l'intégrale cherchée de f doit être comprise entre m et M ; noter que, comme tout élément de E_* est inférieur à tout élément de E* comme on vient de le voir, on a aussi m ≤ M ; pour que la relation m ≤ I( f ) ≤ M suffise à déterminer le nombre I( f ) cherché, il suffit donc de supposer que l'on a m = M. En vertu du théorème 2, les constructions qui précèdent déterminent donc sans ambiguïté I( f ) si la condition suivante est remplie : pour tout entier p, il existe sur X des fonctions étagées ϕ′ et ϕ″ telles que l'on ait d'une part 0 ≤ ϕ′ (x) ≤ f (x) ≤ ϕ″(x) pour tout x ∈ X, et d'autre part I(ϕ″) − I(ϕ′) ≤ 10^-p. S'il en est ainsi on dit que la fonction f est intégrable (au sens de Riemann) sur l'intervalle X, et l'on pose :

Il est sans doute prudent de déconseiller au lecteur toute tentative d'interprétation mathématiquede l'assemblage de signes et de lettres figurant au premier membre, et qu'on ne peut expliquer qu'en faisant appel à la psychologie de Leibniz, sujet intéressant, mais qui nous entraînerait trop loin, probablement jusqu'aux philosophes grecs, trop curieux, qui se demandaient comment une étendue finie pourrait bien être obtenue en juxtaposant une infinité d'étendues infinitésimales. La réponse du mathématicien à ce genre de questions est de prier l'interlocuteur de bien vouloir lui fournir, au préalable, une définition mathématique des termes qu'il emploie, attendu que c'est la règle de base de toute discussion mathématique sérieuse (on trouve même des gens pour prétendre que le respect de cette convention n'est pas sans présenter quelque utilité en dehors des mathématiques) ; et c'est très exactement parce que personne, en vingt siècles, n'a été capable de lui fournir des définitions précises[...]