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CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Intégration et dérivation

Soit X un intervalle quelconque, et f une fonction réglée dans X, c'est-à-dire qui admet des limites à gauche et à droite en chaque point de X. Choisissons une fois pour toutes un point a de X. Pour tout t ∈ X, la fonction f est réglée et donc intégrable dans l'intervalle compact d'extrémités a et t. Nous nous proposons d'étudier la fonction F définie sur X par les formules suivantes :

Notons qu'en convenant de définir :

on a :
nous dirons que F est la primitive de f au point a. On a évidemment F(a) = 0.

Les deux outils essentiels pour l'étude de F sont d'une part l'inégalité (10) démontrée plus haut, et d'autre part la relation :

valable quels que soient a, b, c ∈ X, et dont l'analogie avec la célèbre « relation de Chasles » :
de la théorie des segments de droite orientés est évidente. La démonstration de (17) consiste d'abord à utiliser la relation (16) et des calculs triviaux pour ramener la démonstration de (17) au cas où l'on a a ≤ c ≤ b ; on vérifie alors (17) immédiatement lorsque f est une fonction étagée en utilisant la définition (1) de l'intégrale, puis on passe de là au cas général en appliquant (17) à des fonctions étagées « très voisines » de f, et en utilisant des arguments d'approximation analogues à ceux qui nous ont servi pour établir par exemple le théorème 4. Intuitivement, la relation (17) exprime que l'aire comprise entre le graphe de f, l'axe des x, et les verticales a et b, est somme de l'aire analogue comprise entre les verticales a et c, et de l'aire analogue comprise entre les verticales c et b, ce qui est « évident géométriquement », c'est-à-dire aussi longtemps qu'on n'exige pas de véritable démonstration...

Cela fait, revenons à la fonction F (t). Pour un t ∈ X distinct de l'extrémité droite de X, on a t + h ∈ X pour tout nombre h > 0 suffisamment petit. Comme f admet en t une limite à droite f (t + 0), il y a, pour tout entier p, un nombre tp > t dans X tel que la relation t < t + h < tp implique | f (t + h) − f (t + 0)| ≤ 10-p. Posons b = f (t + 0) et considérons, pour un tel h, l'intégrale :

puisque :

Comme   | f (x) − b | ≤ 10-p   pour t < x < t + h, et comme les valeurs de f (x) − b, aux extrémités, n'ont évidemment aucune influence sur le calcul de l'intégrale, le premier théorème de la moyenne (10) montre que l'on a :

de là et de (18) résulte donc que l'on a :
dès que t < t + h < tp, ou, puisque h > 0, que :
dès que t < t + h < tp.

On est ainsi conduit à dire qu'une fonction F admet en un point t une dérivée à droite égale à b si, pour tout entier p, il existe un nombre tp > t tel que l'on ait la relation (20), ou, si l'on préfère (poser tp = t + hp), un nombre hp > 0 tel que la relation :

le rapport [F (t + h) − F (t)]/h représente, géométriquement, la pente de la droite joignant les points (t, F (t)) et (t + h, F (t + h)) du graphe de F. On désigne habituellement la dérivée à droite au point t, si elle existe, par F′d (t).

On définit bien entendu de même la notion de dérivée à gauche au point t : c'est un nombre c possédant la propriété que, pour tout p, il existe un nombre hp < 0 (aucun rapport avec ce que nous avons désigné ci-dessus par hp) tel que :

Le raisonnement qui, pour la primitive F de f, nous a conduit à la relation (19) avec b = f (t + 0) conduirait, moyennant des modifications triviales, à la relation (22) avec cette fois c = f (t − 0). En résumé :

Théorème 8. Soit f une fonction réglée[...]

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