- 1. Notion de borne supérieure
- 2. Intégrale d'une fonction étagée
- 3. Intégration des fonctions réglées
- 4. Caractérisations des fonctions réglées
- 5. Intégration et dérivation
- 6. Détermination d'une fonction par sa dérivée
- 7. Théorème des accroissements finis
- 8. Théorème du maximum
- 9. Formule de Taylor
- 10. Bibliographie
CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable
Détermination d'une fonction par sa dérivée
Soit F et G, deux fonctions admettant en un point t des dérivées F′(t) et G′(t) ; on voit facilement qu'alors les fonctions F + G, F − G et FG admettent aussi, au point t, des dérivées données par des formules simples, et égales respectivement à :
La meilleure façon d'établir ces résultats est d'utiliser la notation de Landau (cf. calculs asymptotiques) et d'écrire, ce qui est clair d'après (19), qu'une fonction F admet au point t une dérivée égale à b si et seulement si l'on a la relation :
Cela dit, et en nous bornant aux fonctions dérivables pour éviter des complications secondaires (mais les résultats que nous allons établir seraient encore valables, moyennant des modifications triviales, pour des fonctions admettant partout des dérivées à droite et à gauche), considérons deux solutions F1 et F2 de l'équation (24) ; la fonction F = F1 − F2 admet alors dans l'intervalle X considéré une dérivée :
On est alors amené à établir le résultat suivant :
Théorème 9. Soit F une fonction définie dans un intervalle X et admettant, en tout point de X, une dérivée égale à 0. Alors la fonction F est constante dans X.
Si l'on admet ce théorème, on voit que deux solutions quelconques de (24) diffèrent entre elles d'une simple constante. Si donc l'on connaît une solution F de (24), et si l'on choisit un point a de X, on aura une relation de la forme :
Autrement dit :
Théorème 10. Soit f une fonction continue dans un intervalle X et F une fonction dérivable dans X telle que F′(t) = f (t) pour tout t ∈ X. On a alors :
C'est ce qu'on appelle fréquemment le théorème fondamental du calcul infinitésimal puisqu'il montre l'équivalence entre les deux problèmes suivants : calculer
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Écrit par
- Roger GODEMENT : professeur à l'université de Paris-VII
Classification
Médias
Fonction étagée
Encyclopædia Universalis France
Fonction réglée
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Intervalles
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