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CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Théorème du maximum

Comme nous allons le voir, il suffit pour cela d'établir le résultat suivant :

Théorème 12. Soit F une fonction définie et continue sur un intervalle compact X. Il existe un c′∈X tel que l'on ait F(x) ≤ F(c′) pour tout x ∈ X, et un c″∈ X tel que l'on ait F(c″) ≤ F(x) pour tout x ∈ X.

Avant d'établir le théorème 12, montrons comment il implique le théorème 11 bis. Tout d'abord la fonction F du théorème 11 bis, étant dérivable en tout point de X, est continue. En effet, pour tout t ∈ X, il existe, d'après les relations (21) et (22), que l'on écrira pour p = 0, des nombres h′ et h″ tels que l'on ait h′ < 0 < h″ et tels que :

(le cas où h = 0 est exclu de (21) et (22), mais se traite directement par vérification triviale). Posant M = 1 + |F′(t)|, on en déduit que l'on a |F(t + h) − F(t)| ≤ M |h | pour h′ < h < h″. Choisissons un entier n tel que M ≤ 10n ; alors M |h | ≤ 10-p pourvu que |h | ≤ 10-p-n. Les t′ tels que le nombre h = t′ − t vérifie à la fois h′ < h < h″ et |h | ≤ 10-p-n forment un intervalle ouvert I(t) contenant le point t, et le raisonnement précédent montre que, pour t′ ∈ X ∩ I(t), on a |F(t′) − F(t)| ≤ 10-p, autrement dit que F est constante à 10-p près dans X ∩ I(t) : d'où la continuité de F en t (cf. fin du chap. 5).

Cela dit, le théorème 12 s'applique à F, d'où des points c′ et c″ dans X tels que l'on ait F(c″) ≤ F(x) ≤ F(c′) pour tout x ∈ X. Si l'on a a < c′ < b, la condition (30) est réalisée ; si l'on a a < c″ < b, la condition (31) l'est, et dans chacun de ces deux cas le théorème 11 bis est démontré, comme on l'a vu. Il reste à examiner le cas où c′ et c″ sont situés aux extrémités de X. Mais comme F(a) = F(b), on a alors F(c′) = F(c″) = F(a) = F(b), donc F(x) = F(a) = F(b) pour tout x ∈ X, et la fonction F est constante, d'où F′(t) = 0, quel que soit t ∈ X, de sorte que le théorème 11 bis est trivialement vrai dans ce cas aussi.

Passons maintenant à la démonstration du théorème 12. Tout d'abord la fonction, étant continue sur l'intervalle compact X, est réglée sur X d'après le théorème 6, comme nous l'avons déjà observé au chapitre 5 ; elle est donc bornée sur X : choisir sur X une fonction étagée ϕ telle que l'on ait par exemple |F(x) − ϕ(x)| ≤ 1 pour tout x ∈ X, désigner par u et v la plus petite et la plus grande des valeurs (en nombre fini) prises par la fonction ϕ sur X, et observer qu'on a alors u − 1 ≤ F(x) ≤ v + 1 pour tout x ∈ X. L'ensemble F(X) des valeurs prises par la fonction F sur l'intervalle X est donc borné et admet par suite une borne supérieure M et une borne inférieure m (cf. chap. 1) ; toute la question est de prouver l'existence de nombres c′ et c″ ∈ X tels que m = F(c″) et M = F(c′) (ce qui, nous l'avons vu au chapitre 1, pourrait fort bien se révéler impossible si l'intervalle X n'était pas supposé être compact), et nous nous bornerons à prouver l'existence de c′, celle de c″ se démontrant de la même façon (ou, mieux encore, se déduisant de l'existence de c′ puisque c″ joue pour la fonction − F le même rôle que c′ pour la fonction F).

Or nous savons que, pour tout p, il existe des x ∈ X où l'on a M − 10-p ≤ F(x) ≤ M. Soit Ap l'ensemble de ces x ∈ X ; tout revient à prouver qu'il existe un point c commun à tous les Ap, car si l'on a :

quel que soit p, on aura[...]

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