CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Formule de Taylor

Nous allons maintenant établir le dernier « grand » résultat de l'analyse infinitésimale, à savoir la formule de Taylor, qui permet, au voisinage d'un point, de remplacer une fonction « suffisamment régulière » par un polynôme qui lui est « approximativement » égal.

Soit f une fonction définie dans un intervalle ouvert X. Nous dirons que f est de classe C¹ dans X si elle admet une dérivée f′(x) en tout point de X, et si celle-ci est fonction continue de x. Si f′ est elle-même de classe C¹, on dit que f est de classe C² ; on peut alors attribuer à f une dérivée seconde continue f″ = ( f ′)′. En poursuivant ainsi de proche en proche on définit de façon évidente les dérivées successives, et la notion de fonction de classe C^p, c'est-à-dire admettant dans X des dérivées continues jusqu'à l'ordre p inclusivement.

Supposons f de classe C¹ dans X, et appliquons le théorème 10 à la fonction continue f′ ; on trouve que :

quels que soient a, b ∈ X.

Soit maintenant u et v deux fonctions de classe C¹ dans X ; la fonction w = uv l'est aussi et sa dérivée est donnée par la formule w′ = u′v + uv′, que nous avons déjà indiquée après l'énoncé du théorème 11. On en déduit que :

d'où la formule d'intégration par parties :

valable pour u et v de classe C¹ dans X, très commode pour le calcul pratique des intégrales, mais dont l'intérêt est ailleurs lorsqu'on s'occupe de mathématiques. Nous allons obtenir la formule de Taylor en combinant les formules (35) et (36).

Pour cela supposons, dans (35), que f soit de classe C² et donc f ′ de classe C¹. Appliquons la formule (36) en choisissant u(x) = x − b, d'où u′(x) = 1, et v(x) = f ′(x), d'où v′(x) = f ″(x) ; il vient u(b) = 0, u(a) = a − b, v(b) = f′(b), v(a) = f′(a), d'où :

Supposons maintenant f de classe C³, donc f″ de classe C¹ ; on peut calculer la dernière intégrale en faisant u(x) = f″ (x) et v(x) = (x − b)²/2 dans la formule (36), puisque alors v′ (x) = x − a ; il vient donc, puisque v(b) = 0 :

Si f est de classe C⁴, on peut calculer la dernière intégrale en prenant, dans la formule d'intégration par parties, u(x) = f‴ (x) et v(x) = (x − b)³/2.3 ; comme v(b) = 0, il vient alors manifestement :

Il est clair que le raisonnement se poursuit aussi longtemps que les dérivées existent et sont continues. Autrement dit, si f est de classe C^p+1, on a la relation :

où l'on a posé p ! = 1.2....p (produit des p premiers nombres entiers), et où l'expression R_p est donnée par la relation :

La formule de Taylor avec reste intégral est la relation :

qui se déduit immédiatement de (37). Si l'on fixe le point a en remplaçant b par un point variable t ∈ X, on obtient la relation :

qui exprime f comme somme d'un polynôme en t et d'un « reste » :

Noter que le polynôme en question possède, au point a, les mêmes dérivées que la fonction f jusqu'à l'ordre p inclusivement, ce qui le caractérise entièrement puisqu'il est de degré p au plus.

La formule de Taylor n'a pas d'intérêt si l'on ne connaît pas de méthode simple pour évaluer l'ordre de grandeur du reste R_p dans (39) ou (40) puisque, dans la pratique, on désire toujours s'en servir pour approcher la fonction f par le polynôme de degré p considéré ci-dessus. Supposons pour cela a ≤ b dans (38), l'autre cas se traite de même, avec des changements de signe triviaux dans les raisonnements, de sorte que l'on a (b − x)^p≥ 0 pour a ≤ x ≤ b. Soit m et M le minimum et le maximum, dans l'intervalle compact[a, b], de la fonction continue f⁽^p+1)(x) ; on a alors :[...]

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Écrit par

Roger GODEMENT : professeur à l'université de Paris-VII

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