CALCUL INFINITÉSIMAL Histoire

Le précurseur du calcul infinitésimal

Mais c'est à Archimède que l'on doit les applications les plus nombreuses, les plus originales et les plus spectaculaires de la méthode d'exhaustion à la résolution de problèmes infinitésimaux, applications relevant pour la plupart du calcul intégral et, pour un cas seulement, du calcul différentiel.

Dans le domaine du calcul intégral, Archimède réalise des quadratures ou déterminations d' aires (cercle, segment de parabole, aires diverses liées à la spirale d'Archimède, aires latérales de cylindres et de cônes, sphères), des cubatures ou déterminations de volumes (pyramides, cône, sphère et segment de sphère, segments de quadriques de révolution), des déterminations de centres de gravité (intéressant en particulier la plupart des surfaces et des volumes précédemment mentionnés). Il réussit également à déterminer de façon rigoureuse la longueur de la circonférence de cercle (problème de rectification de courbe), suivant une méthode, aujourd'hui classique dans l'enseignement élémentaire, qu'il développa dans son traité de la Mesure du cercle.

Sa méthode de démonstration en calcul intégral est fondée sur une axiomatique rigoureuse et sur le recours systématique au procédé eudoxien d'exhaustion et, pour ce faire, à l'inévitable raisonnement par l'absurde. Cependant les considérations de statique qui apparaissent fréquemment dénotent la puissante originalité de leur auteur et révèlent son souci d'adapter des considérations théoriques d'une rigueur irréprochable à l'étude des problèmes fondamentaux rencontrés au cours de ses recherches d'ordre physicomécanique.

L'aire du segment de parabole

L' exemple de l'aire du segment de parabole permet d'avoir une idée précise des différentes préoccupations d'Archimède et de la variété des moyens que lui procure l'étendue de son génie.

Les diverses méthodes qu'il présente pour déterminer cette aire du segment S, délimité par un arc de parabole et la corde AB qui joint les extrémités de cet arc, ont pour principe commun de la comparer soit à l'aire du triangle ABT, circonscrit à ce segment (triangle déterminé par AB et par les tangentes à l'arc de parabole en ses extrémités), soit à l'aire d'un triangle inscrit particulier ABC, ayant pour troisième sommet C, le sommet de l'arc, c'est-à-dire le point où la tangente est parallèle à AB (il est aisé de voir que l'aire de ce triangle ABC est le quart de celle du triangle ABT). Le traité de la Quadrature de la parabole présente successivement deux méthodes pour déterminer cette aire. La première, qui fait un assez large appel à des considérations de statique, lui permet d'établir que le rapport de l'aire du triangle ABT à celle du segment de parabole, ne pouvant être ni supérieur ni inférieur à 3, est égal à ce nombre. La seconde méthode, plus proche de celle qu'Eudoxe avait utilisée dans la cubature de la pyramide, vise à déterminer le rapport de l'aire du segment de parabole à celle du triangle ABC. À cette fin, elle considère l'aire du segment de parabole comme la limite de la suite infinie des aires de polygones déterminés, chacun à partir du précédent, par doublement du nombre des côtés et introduction comme sommets intermédiaires des « sommets » des arcs de parabole limités par les côtés de ce dernier. Le rapport cherché apparaît ainsi comme la limite de la suite infinie croissante :

Il apparaît clairement que, si ces deux méthodes permettent de démontrer l'exactitude d'un résultat connu à l'avance, elles ne peuvent en aucune façon permettre de découvrir ce dernier. Il en est de même des nombreuses autres démonstrations de caractère infinitésimal données par Archimède dans ses différents écrits, du moins dans ceux qui étaient connus avant la redécouverte, en 1906, d'une sorte de testament scientifique où il révèle partiellement le secret de ses découvertes. Ce texte, cité en général par le titre abrégé de Méthode, se présente sous la forme d'une lettre adressée par Archimède à son ami le géographe Ératosthène, pour l'informer sur sa méthode heuristique, dont il s'était efforcé d'éliminer toute trace dans ses écrits précédents. Il montre que cette méthode repose essentiellement sur des considérations de statique, en particulier sur la notion de moment statique, et sur une conception qui, sous une forme encore indécise et implicite, préfigure celle d' intégrale définie, ou du moins en donne une image géométrique.

Dans le cas particulier évoqué de l'aire du segment de parabole, la méthode repose sur le découpage de la surface S considérée par des droites parallèles en sections de faible épaisseur et consiste à équilibrer ces sections avec d'autres qui sont les éléments d'un triangle Δ. Les deux surfaces étant considérées comme la somme de leurs sections (« Le segment parabolique est composé de toutes les cordes parallèles à un diamètre », écrit-il en effet sous une forme symbolique que nous retrouverons au xvii^e siècle chez Cavalieri), on peut, à partir de considérations générales d'équilibre, déduire l'aire de S de celle de Δ.

La tradition archimédienne

Mais la Méthode fut ignorée de tous les successeurs d'Archimède, qui ne connurent que ses lourdes et rigoureuses démonstrations par exhaustion, dépourvues de toute valeur heuristique. Aussi, ne faut-il pas s'étonner si, malgré sa richesse et son originalité, cette œuvre n'inspira qu'assez peu les chercheurs, du moins tant que de nouvelles voies d'accès ne permirent pas d'aborder le vaste secteur ainsi découvert. Un autre obstacle certain à la diffusion de l'œuvre infinitésimale archimédienne est l'absence d'un corps général de doctrine, d'une claire prise de position sur la parenté existant entre les différents problèmes traités, parenté qui, pour le lecteur moderne, tient au fait que ces problèmes correspondent à différentes figurations géométriques de types d'intégrales en nombre très réduit, surtout :

Il faut encore rappeler qu'Archimède, du fait qu'il délaisse pratiquement la cinématique, n'aborde guère le calcul différentiel que par un exemple, celui de la tangente à la célèbre spirale dite d'Archimède, en dehors, bien entendu, des cas élémentaires, déjà bien connus avant lui, des tangentes au cercle et aux coniques.

Pour Archimède, la tangente à une courbe C en un de ses points M est une droite passant par ce point et restant, tout au moins dans le voisinage de celui-ci, extérieure à la figure. Il est donc indispensable d'établir non seulement l'existence d'une telle droite, mais aussi, le cas échéant, son unicité. Dans le cas type de la spirale, l'analyse d'Archimède, assez difficile à suivre pour un lecteur moderne de par sa complexité même, repose sur la connaissance préalable du résultat, sur la réduction du problème transcendant posé à deux problèmes algébriques de degré supérieur à 2 et sur l'emploi de la méthode « apagogique » ou de « réduction à l'absurde ».

Quelles que soient les réserves que l'on puisse faire tant sur l'absence apparente de généralité des conceptions infinitésimales d'Archimède que sur la difficulté de transmission de ses idées, il est certain que cet aspect de son œuvre est l'un des sommets de la mathématique antique. Pendant près de deux millénaires, ces travaux, bien qu'imparfaitement connus et encore beaucoup moins compris, seront considérés par la plupart des mathématiciens comme des modèles pratiquement inimitables. Et c'est leur influence qui, au cours de la période arabe, puis au moment de la naissance de la science moderne, à la fin du xvi^e et au début du xvii^e siècle, inspirera tous ceux qui œuvreront pour une renaissance du « calcul infinitésimal ».