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CALCUL INFINITÉSIMAL Histoire

Le Moyen Âge

Le relais arabe

Dans le monde grec, Archimède n'eut ni disciple ni successeur véritable ; seuls, quelques commentateurs, tel Eutocius au début du vie siècle, ont contribué à maintenir le souvenir de son œuvre, sans toutefois pouvoir apprécier celle-ci dans l'intégralité de sa rigueur. En revanche, dès le ixe siècle, les mathématiciens arabes réussirent à dominer la méthode antique d'exhaustion et à obtenir, par son intermédiaire et avec l'aide de quelques procédés originaux, différents résultats, connus d'Archimède, et d'autres jusqu'alors inédits. Alors que la plupart des problèmes traités par Archimède équivalent à la quadrature de ax et de ax2, on trouve chez Thābit ibn Qurra, dès le ixe siècle, un calcul équivalant à la détermination de l'intégrale :

et cela par un procédé qui revient à diviser l'intervalle d' intégration en éléments formant une progression arithmétique. Le calcul du volume du solide de révolution engendré par la rotation d'un segment de parabole autour de sa corde (calcul qui revient à la sommation de ax4) amène Ibn al-Haytham, au début du xie siècle, à réaliser la détermination préalable de la somme des puissances quatrièmes de la suite des entiers. Il faut encore mentionner que son contemporain, le célèbre physicien et géographe al-Bīrūnī, fut conduit par ses recherches sur le mouvement non uniforme à l'étude des propriétés des fonctions au voisinage de leurs maximums ou minimums et à la conception des notions de vitesse instantanée et d'accélération d'un mouvement ponctuel. De telles considérations innovent de façon remarquable sur l'Antiquité, qui ignorait pratiquement la cinématique ; elles ne réapparaîtront qu'à la fin du xviie siècle, trop tardivement pour contribuer à la genèse de la notion de dérivée.

L'influence de la scolastique

Tandis qu'au cours de la période la plus brillante de la science arabe se manifeste ainsi, dans la tradition d'Archimède, un éclatant mais bref renouveau de l'étude des méthodes infinitésimales, certains philosophes, spécialement Avicenne et Averroès, continuent, sous l'influence d'Aristote et, indirectement, de Zénon d'Élée, à discuter des notions de continu, d'indivisible et de formes fluentes. Mais l'influence de ce courant ne semble pas avoir été très vivace. Dans l'Occident médiéval chrétien, c'est au contraire par l'intermédiaire de telles discussions philosophiques, et non dans une optique strictement mathématique que les préoccupations infinitésimales interviendront dans l'élaboration des nouveaux courants de pensée mathématique et physique. Si l'on trouve quelque vague pressentiment du calcul infinitésimal dans certaines études de dynamique entreprises, au cours de la première moitié du xiiie siècle, par Jordanus Nemorarius, c'est, en réalité, dans l'œuvre de son contemporain Robert Grosseteste et dans celles de ses successeurs des écoles d'Oxford et de Paris que la résurgence des discussions antiques inspirées de Zénon et d'Aristote conduira à un approfondissement des conceptions d' infini, d'infiniment petit et de grandeur continue et à un pressentiment des notions de fonction, de représentation graphique, de vitesse, voire de série infinie. Ainsi, réapparaissent, en vue d'être appliquées à la mécanique et à une sorte de physique mathématique (parfois étendue abusivement à des notions aussi aberrantes que celles de blancheur ou de charité et sans le solide support mathématique qui eût été indispensable), diverses idées qui avaient trouvé de fécondes applications soit dans l'œuvre d'Archimède, soit dans certains travaux de ses disciples arabes. Si Georg Cantor devait trouver chez les scolastiques de l'école parisienne[...]

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    • Écrit par
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