CALCUL INFINITÉSIMAL Histoire

Newton et le calcul des fluxions

Il faut maintenant opérer un bref retour en arrière pour revenir à la création même du calcul infinitésimal, réalisée plusieurs années plus tôt, de façon quasi clandestine, par Isaac Newton. Disciple indirect de Descartes et de l'école italienne, formé par l'étude de l'ouvrage fondamental de Wallis, l'Arithmetica infinitorum (1655), et par les leçons de Barrow, Newton forgea, dès 1665-1666, les premières bases de sa version du calcul infinitésimal, le calcul des fluxions ; il étudia ensuite les principes et les applications de ce nouveau calcul dans une série de travaux qu'il conserva par-devers lui et qui ne seront publiés que longtemps après : De analysis per aequationes numero terminorum infinita (1669, publié en 1711), Methodus fluxionum et serierum infinitarum (1670, publié en traduction anglaise en 1736), Tractatus de quadratura curvarum (1676, publié en 1704 en appendice à son Opticks). Un passage de ce dernier essai donnera une idée assez précise de l'inspiration mécanique qui anime Newton dans la mise au point de cette méthode des fluxions, dont l'un des mérites essentiels était de s'appliquer à toutes les fonctions, qu'elles fussent algébriques ou transcendantes : « Je ne considère pas les grandeurs mathématiques comme formées de parties, si petites soient-elles, mais comme décrites d'un mouvement continu. Les lignes sont décrites et engendrées, non pas par la juxtaposition de leurs parties, mais par le mouvement continu de points ; les surfaces, par le mouvement des lignes ; les solides, par le mouvement des surfaces ; les angles, par la rotation des côtés ; les temps, par un flux continu. Considérant donc que les grandeurs qui croissent dans des temps égaux sont plus grandes ou plus petites, selon qu'elles croissent avec une vitesse plus grande ou plus petite, je cherchais une méthode pour déterminer les grandeurs d'après les vitesses des mouvements ou accroissements qui les engendrent. En nommant fluxions les vitesses de ces mouvements ou accroissements, tandis que les grandeurs engendrées s'appelleraient fluentes, je suis tombé, vers les années 1665 et 1666, sur la méthode des fluxions, dont je ferai usage dans la quadrature de courbes. »

Notons que Newton représente les fonctions par des lettres v, x, y, ..., les fluxions correspondantes par les mêmes lettres pointées, v̇, ẋ, ẏ,..., les différentielles, ou « moments des fluxions », par ces symboles suivis de la lettre o signifiant « quantité infiniment petite ».

Ennemi de toute publicité, aigri par l'opposition qu'il avait rencontrée, en 1672, lors de la publication de son mémoire sur la lumière, Newton poursuivit, dès lors, dans un silence presque total, la mise au point de l'œuvre immense qu'il réalisera dans les domaines des mathématiques, de la mécanique, de la mécanique céleste et de l'optique. Ainsi sa découverte du calcul des fluxions resta-t-elle quasi secrète ; quelques indiscrétions dans les cercles de la Royal Society, quelques indications soigneusement chiffrées dans la correspondance indirecte qu'il échangea avec Leibniz, en 1675-1676, en resteront pendant longtemps les seules traces. Après les publications des célèbres mémoires de Leibniz, le voile du silence se déchire quelque peu ; en 1687, dans ses Principia, Newton donne un premier et prudent exposé des principes de sa méthode infinitésimale qu'il applique à la résolution de nombreux problèmes de philosophie naturelle. Deux lettres publiées par Wallis en 1693 dans le tome II de ses Opera et le Tractatus (1704) apportent enfin des indications plus précises. Mais il est bien tard, les mathématiciens du continent se sont déjà ralliés, dans leur majorité, aux méthodes et aux notations de l'école de Leibniz et la compétition va prendre[...]