CALCUL MENTAL

La technique d'Inaudi pour « le jour de la semaine »

Inaudi vivait dans la première moitié du xx^e siècle. À l'énoncé d'une date, par exemple le 8 mai 1945, il additionnait 4 nombres :

– le jour, 8 ;

– un nombre de la liste : 033 614 625 035 (qu'il savait par cœur), selon le numéro du mois, mai (5^e mois), 1 ;

– les deux derniers chiffres de l'année, 45 ;

– le quotient entier de l'année par quatre, 11 (nombre d'années bissextiles passées depuis 1900).

Pour l'addition, on peut même aller plus vite en remplaçant chaque nombre par son reste « modulo » 7. Ici : 8 + 1 + 3 + 4 = 16, et donc, modulo 7 encore, 2. Le 8 mai 1945 était donc un mardi (0 : dimanche ; 1 : lundi ; ... 6 : samedi). Un instant de réflexion justifie ce calcul, qui consiste simplement à compter, modulo 7, le nombre de jours écoulés depuis le 1^er janvier 1900 (qui était un lundi : 1) ; et pour le xxi^e siècle, qui a commencé le lundi 1^er janvier 2001, il faut enlever 1 au résultat obtenu par le « même » calcul. On voit en tout cas que le calcul est vraiment très simple à effectuer et peut se faire pratiquement au cours de l'énoncé oral de la date.

S'il est donc vrai que les calculateurs furent d'abord prodiges par leurs dons – en particulier par la mémoire des nombres, l'aisance et la rapidité de leurs facultés opératoires, la compréhension des structures du calcul – il n'est pas moins sûr qu'une belle part de leur virtuosité tient d'une part à un entraînement intensif, d'autre part à l'utilisation de « trucs » plus ou moins personnels.

Munis de ces trucs et bien entraînés, des collégiens peuvent parfois rivaliser avec eux. C'est ce qui est arrivé à Henri Mondeux (1826-1862), calculateur exceptionnel sur les dons duquel Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) lui-même avait écrit un rapport à l'Académie des sciences, en 1840 (Sur les procédés de calcul imaginés et mis en pratique par un jeune pâtre de la Touraine). Il excellait en particulier dans les multiplications en découpant les nombres en tranches de deux chiffres. Cependant, un jour qu'il était en représentation dans une école de Lyon, en présence du mathématicien Gabriel Lamé (1795-1870), les 50 élèves d'une classe réussirent à aller presque aussi vite que lui... C'est que leur instituteur, adepte de la méthode dite « Taboureau », les avait particulièrement entraînés à la technique mentale adaptée à ces multiplications !

Mondeux avait cependant développé des techniques très astucieuses donnant lieu à des représentations impressionnantes. En voici un exemple, où un entraînement facile permet un calcul très spectaculaire.

Trouver une racine cinquième plus rapidement qu'une calculatrice

Quelle est la racine cinquième du nombre 6 436 343 ? Le temps d'écrire ces sept chiffres, sur une calculatrice, vous pourrez annoncer le nombre cherché. La cinquième puissance d'un nombre compris entre 10 et 100 est en effet comprise entre 100 000 et 10 000 000 000 ; de sorte que, dans notre cas, il n'y a que deux chiffres à trouver. Or le chiffre des unités est le même pour un nombre et sa cinquième puissance ou, donc, pour un nombre et sa racine cinquième. Quant au chiffre des dizaines, il suffit de retenir les ordres de grandeur des puissances cinquièmes des nombres de 1 chiffre : aux nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, correspondent respectivement les puissances 5 suivantes : 1, 32, 250, 1 000, 3 000, 8 000, 17 000, 32 000, 60 000. Pour retenir cette suite d'ordres de grandeur, comme toujours lorsqu'il est question de mémoire, on peut, et on doit, croiser ses connaissances avec d'autres déjà acquises ; ainsi 2⁵ = 32, et 4⁵ = 2^2×5 = 2¹⁰ # 1 000 et, donc 8⁵ = 2¹⁵ = 2⁵ × 2¹⁰ # 32 000. Puisque la puissance cinquième de 10 vaut 100 000, il faut regarder le nombre de centaines de milliers du nombre (ici 64) et le comparer à ceux du tableau précédent ; ici 64 est entre 32 et 250 ; le chiffre des dizaines est donc 2. La racine cherchée est donc 23.

Remarquer, grâce à cet exemple, qu'il est bien plus facile de donner la racine cinquième d'un nombre de 7, 8 ou 9 chiffres que de donner sa racine carrée (où il y aurait 4 ou 5 chiffres à trouver !). De plus, il ne s'agit pas ici de trouver la racine cinquième d'un entier quelconque, mais la racine cinquième exacte d'un nombre qui est lui-même une puissance cinquième déjà calculée. Or il n'y a que neuf de ces nombres entre 3 200 000 et 25 000 000. Et le chiffre des unités du nombre cherché est connu. Le « calculateur » n'a alors que peu de mérite à annoncer la racine cinquième.