NUMÉRIQUE CALCUL

Développements décimaux

Nous ne traiterons pas ici des différents systèmes de numération.

On sait que l'école platonicienne considérait que seuls les entiers naturels non nuls sont des nombres. Par ailleurs, la théorie des grandeurs (Euclide, livres V et X) fournit un cadre très malaisé pour le calcul sur les rapports non entiers. Les mathématiciens de l'école alexandrine, en particulier Archimède (287-212 av. J.-C.), Héron (i^er siècle) et Diophante (325-410), développent le calcul sur les fractions et sur les racines carrées. Ces difficultés persisteront en Occident jusqu'au xvi^e siècle, comme en témoigne la terminologie de nombres absurdes, irrationnels, irréguliers, inexplicables, sourds, rompus, etc.

C'est la construction du système décimal, motivée en particulier par les nécessités du commerce, qui va permettre d'unifier le domaine numérique, comme en témoigne l'œuvre de Simon Stevin (1548-1620). Le système décimal est exposé dans L'Arithmétique (1585), sous le titre : « La disme enseignant facilement expedier par nombres entiers sans rompuz, tous comptes se rencontrans aux affaires des Hommes ». Stevin insiste sur le fait que la représentation décimale illimitée permet d'assimiler les irrationnels à de véritables nombres, puisqu'ils ont les mêmes propriétés opératoires. Dans le Traité des incommensurables grandeurs (paru en 1634), Stevin approfondit la notion théorique de nombre réel ; il affirme que les difficultés rencontrées par les mathématiciens dans la mesure des grandeurs (cf. Euclide, livre X) viennent du fait « qu'ils ne tenaient pas les radicaux pour nombres, mais pour quantités sourdes, absurdes... et pas dignes d'être citées en propositions mathématiques ». Cette nouvelle conception a eu une grande influence, non seulement pour la construction des nombres réels, mais aussi pour l'élaboration du calcul différentiel : Newton, dans La Méthode des fluxions et des suites infinies, écrite vers 1671, s'appuie sur une analogie avec la théorie des développements décimaux pour unifier le champ des fonctions, grâce au concept de développement en série entière (cf. calcul infinitésimal - Calcul à une variable). De même que les développements décimaux expriment, à l'aide de nombres entiers, les fractions et les nombres définis par des radicaux, les développements en série entière expriment, à l'aide de monômes, les fonctions rationnelles et les fonctions définies par des radicaux. Le développement du binôme joue ici un rôle essentiel. Le calcul des dérivées de telles fonctions en découle aussitôt.

Les logarithmes

Au départ, Napier (1550-1617) se propose de simplifier les calculs trigonométriques intervenant en astronomie ; en 1614, il publie une table de logarithmes à sept décimales, sous le titre : Description des merveilleuses règles des logarithmes et de leur usage dans l'une et l'autre trigonométrie, aussi bien que dans tout calcul mathématique. Un second traité, publié en 1619, explique la construction des tables de logarithmes. La définition des logarithmes s'appuie sur la comparaison de deux mouvements, l'un uniforme, l'autre où la vitesse est à chaque instant proportionnelle au chemin parcouru. En outre, des inégalités interpolatoires sont établies. En particulier, Napier montre que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0, 1[,

Briggs (1561-1631) perfectionne la construction des logarithmes : d'une part, il met en évidence l'importance de la relation fonctionnelle :

L'extraction des racines carrées est facilitée par un algorithme employant des différences successives, ce qui revient à la relation :

Une nouvelle étape est franchie par Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), qui met en relation les logarithmes avec les aires limitées par une hyperbole. Mercator (1620-1687) et Newton (1642-1727) obtiennent indépendamment le développement en série :

Ainsi, la théorie des logarithmes met en jeu des concepts importants :

– elle contribue à l'élaboration de la notion de fonction : Newton et Leibniz (1646-1716) conçoivent clairement la fonction logarithme, et utilisent la relation :

– les notions de cinématique employées par Napier sont reprises et généralisées par Newton pour fonder le calcul différentiel (méthode des fluxions) ;

– les développements obtenus par Briggs pour √1 + x sont généralisés par Newton (développement du binôme, développements en série entière) ;

– les problèmes d' interpolation sont à la base des travaux de Gregory (1638-1675) et de ceux de Newton sur les différences finies ;

– enfin, on trouve un exposé synthétique des fonctions exponentielles et logarithmes dans l'Introduction à l'analyse des infiniment petits, publiée en 1748 par Euler (1707-1783) ; ce dernier dégage en outre le lien entre les fonctions exponentielles réelles et les fonctions circulaires, grâce à la théorie des fonctions exponentielles et logarithmes complexes.