SYMBOLIQUE CALCUL

Le calcul symbolique est né au xix^e siècle d'une succession de démarches heuristiques et il a été particulièrement développé par Heaviside pour l'étude des circuits électriques.

Si l'on désigne par p la dérivation, p² désignera naturellement la double dérivation, 1/p l'intégration (encore faut-il choisir convenablement la « constante d'intégration »). L'opérateur qui à la fonction f (t) fait correspondre la fonction f (t − a) pourra, compte tenu de la formule de Taylor (cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable, chap. 3), être représenté par e^-ap. En fait tous les opérateurs représentés ainsi symboliquement ont la propriété de permuter avec les translations dans le temps. Physiquement, cela signifie que ces opérateurs sont liés à des organes linéaires invariants dans le temps : si on décale dans le temps l'action exercée sur un tel organe, sa réponse subit le même décalage. Dans la terminologie moderne, ce sont des opérateurs de convolution. Par exemple, la dérivation est la convolution par la dérivée de la mesure de Dirac.

Le calcul symbolique a été justifié sur le plan théorique grâce à l'utilisation de la transformation de Laplace. Celle-ci associe à une fonction à support positif une fonction d'une variable complexe p. Un opérateur de convolution se transforme en un opérateur de multiplication par une fonction F de la variable complexe p. Enfin, grâce à la théorie des distributions, cette fonction F peut elle-même être considérée comme la transformée de Laplace de l'élément par lequel se fait la convolution. La transformation de Laplace opérant sur des éléments (fonctions ou distributions) à support positif, c'est à l'étude des régimes transitoires que le calcul symbolique est utilisé. Pour les systèmes à temps discret, une forme analogue de calcul symbolique a été développée sous le nom de transformation en z. Parmi les aspects qui ne pourront pas être traités ici, citons l'application aux systèmes différentiels à coefficients variables, l'application à la résolution de certaines équations aux dérivées partielles, la transformation de Laplace à plusieurs variables et les aspects numériques de l'utilisation de la transformation de Laplace.

Transformation de Laplace des fonctions et des mesures

Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur l'ensemble R des nombres réels et nulle pour les valeurs strictement négatives de la variable (c'est-à-dire que f est une fonction « à support positif »). Sa transformée de Laplace est la fonction Lf de la variable complexe p définie par la formule :

De même si μ est une mesure sur R à support positif, c'est-à-dire telle que μ(ϕ) = 0 pour toute fonction ϕ nulle pour les valeurs positives de la variable, sa transformée de Laplace est la fonction Lμ de la variable complexe p définie par la formule :

Au lieu du symbole L pour représenter la transformation de Laplace, on utilise souvent un symbole, par exemple −−|, pour relier les expressions analytiques d'une fonction et de sa transformée de Laplace. On écrira par exemple :

En fait, la transformée de Laplace d'une mesure μ n'est définie que pour les valeurs de p pour lesquelles la fonction e^-pt est intégrable par rapport à μ. On a le résultat suivant, facile à démontrer. Théorème 1. Il existe un nombre ξ₀ tel que la fonction e^-pt soit[...]