SYMBOLIQUE CALCUL

Relations entre la transformation de Fourier et la transformation de Laplace

Dans ce chapitre, nous utiliserons la formule suivante pour définir la transformation de Fourier d'une fonction f (cf. analyse harmonique, chap. 3) :

De la formule :

supposée valable pour R ep > ξ₀ (abscisse de convergence absolue), il résulte que :

Cette formule se généralise sans difficulté aux distributions. Avec T = D^kf, où f admet une transformée de Laplace définie pour Re p > ξ₀, on aura, pour tout ξ > ξ₀,

En particulier, si ξ₀< 0, on aura :

La transformée de Laplace apparaît donc comme une extension convenable au plan complexe de la transformée de Fourier qui, elle, est une fonction de variable réelle. Il convient de rappeler que cette extension n'a pu se faire que moyennant l'hypothèse que l'élément auquel on applique la transformation de Laplace était à support positif. Étant donné que la transformation de Fourier est injective, il en sera de même de la transformation de Laplace. On peut même reconstituer une fonction à partir de sa transformée de Laplace supposée connue sur une verticale du plan complexe d'abscisse ξ > ξ₀, abscisse de convergence absolue. On aura en général, compte tenu de la formule de réciprocité de la transformation de Fourier,

où l'intégrale figurant au second membre est prise dans le plan complexe sur la verticale d'abscisse ξ. L'holomorphie de F permet de modifier le chemin d'intégration. On peut également rechercher des conditions suffisantes assurant qu'une fonction F(p) soit la transformée de Laplace d'une distribution. On a alors le résultat simple suivant.

Théorème. Si F(p) est holomorphe pour Re p > c et vérifie |F(p)| ≤ C|p|^m, alors F est la transformée de Laplace d'une distribution. Si l'on peut prendre m = − 2, alors F est la transformée de Laplace d'une fonction.