SYMBOLIQUE CALCUL

Applications de la transformation de Laplace

L'application la plus répandue de la transformation de Laplace est la résolution des équations de convolution, et en particulier des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Soit l'équation de convolution a _* x = b, où a, b et x sont des fonctions à support positif. Si a, b, x ont des transformées de Laplace A, B, X, on aura :

c'est-à-dire :

La résolution de l'équation de convolution se ramène donc à la résolution d'une équation algébrique et à la recherche d'un élément ayant une transformée de Laplace donnée. Il est intéressant de noter que, pour les distributions à support positif, la convolution n'a pas de diviseurs de zéro. Une équation de convolution sur R₊ ne peut donc avoir qu'une solution. Si l'usage de la transformation de Laplace fournit une solution (c'est-à-dire si a et b ont des transformées de Laplace et si B(p)/A(p) est la transformée de Laplace d'une distribution), celle-ci est l'unique solution de l'équation.

Exemple 1. Soit à résoudre l'équation différentielle :

avec les conditions initiales :

Si l'on ne s'intéresse qu'aux valeurs de x(t) pour t ≥ 0, on peut aussi bien supposer x(t) = 0 pour t < 0, à condition naturellement de supposer que le second membre est remplacé par 0 pour t < 0. Les conditions initiales indiquent alors des discontinuités de x(t) et de dx/dt pour t = 0 ; et, pour en tenir compte, il suffit d'introduire les dérivées au sens des distributions :

L'équation différentielle se récrit alors :

c'est-à-dire :

Soit X la transformée de Laplace de x. On obtient :

d'où :et :Exemple 2. Soit à résoudre l'équation :avec x à support positif. C'est une équation de convolution a _* x = b, avec a(t) = Y(t) sin t et b(t) = Y(t)t². En prenant les transformées de Laplace, on obtient :d'où l'on déduit :Exemple 3. En automatique, tout organe linéaire invariant dans le temps établit une relation de la forme s = f _* e entre l'entrée e et la sortie s. Pour des raisons physiques, f est à support positif. Si S, F, E sont les transformées de Laplace de s, f, e, alors on S(p) = F(p)E(p), et F est appelée la fonction de transfert de l'organe. Dans le cas d'un système constitué de différents organes reliés entre eux, on obtient facilement la fonction de transfert F du système à partir de celles F₁, F₂, ... des différents organes. Par exemple, pour le système représenté par la figure, on a :d'où :