ASYMPTOTIQUES CALCULS

Il est difficile de définir avec précision ce que l'on appelle méthodes asymptotiques en analyse mathématique. Ainsi, lors de l'étude d'une suite ou d'une fonction dont la nature est compliquée, certaines questions ne nécessitent que des renseignements d'ordre qualitatif tels que f (x) → 0 ou f (x) → + ∞ pour x → + ∞. D'autres exigent un contrôle quantitatif très précis, défini par des inégalités explicites. Les comportements asymptotiques relèvent d'une préoccupation intermédiaire : dans de nombreux problèmes, on remplace la quantité étudiée par une autre plus simple sans que, « à la limite », le résultat soit modifié. Par exemple, la relation

Du point de vue strictement technique, les méthodes asymptotiques sont extrêmement variées et, en dehors de quelques résultats relativement généraux, chaque cas particulier exerce l'ingéniosité de celui qui l'étudie. Nous nous limiterons, dans les chapitres 2 et 3, à l'exposé de quelques-unes de ces méthodes.

Comparaison de la croissance des fonctions

L' étude de la manière dont des quantités tendent vers l' infini ou tendent vers zéro a constitué, à la naissance du calcul infinitésimal, au xvii^e siècle, la théorie des « infiniment grands » et de leurs inverses, les « infiniment petits », et a fait l'objet de polémiques passionnées, souvent paramathématiques. En effet, l'absence d'une conception précise de la notion de limite (problème qui ne fut pas abordé sous forme rigoureuse) rendait mystérieuse la nature de ces quantités qui, tout en étant comparables entre elles, n'étaient pas comparables aux nombres ou aux fonctions. De plus, cela représentait l'intrusion de l'infini dans les calculs et, bien que cet infini fût potentiel et non actuel (en ce sens que l'infini n'était pas considéré en lui-même comme un être mathématique soumis à des règles opératoires précises), cela suscitait des problèmes philosophiques aux mathématiciens, échaudés par les nombreux « paradoxes de l'infini » qui n'étaient pas encore clairement analysés. La recherche des « vraies valeurs » des formes indéterminées, rencontrées dans le calcul des dérivées par exemple, allait cependant montrer l'importance de ces notions et les justifier, tout au moins empiriquement, aux yeux des mathématiciens. Ces questions ont été systématiquement élucidées par Paul Du Bois-Reymond, qui, dans une série d'articles de 1870-1871, a posé les fondements du calcul des infiniment grands (Infinitär-calcul) en mettant en évidence l'importance de la notion d'échelle de comparaison ; il a étudié également en détail l'intégration et la dérivation des relations de comparaison. Tous ces résultats ont trouvé leur forme rigoureuse et définitive dans les travaux de Hardy.

Relations de comparaison

Dans de nombreuses questions d'analyse, on est conduit à étudier l'« ordre de grandeur » d'une fonction f (n) d'une variable entière positive pour n grand, ou d'une fonction f (x) d'une variable continue x lorsque x est grand, ou voisin d'une valeur a. Formulons le problème de manière précise, en nous limitant au cas d'une variable continue pour fixer les idées.

Soit f une fonction, à valeurs réelles ou complexes, définie pour a − h < x < a ou a < x < a + h (on dira alors que f est définie dans un voisinage à gauche ou à droite de a) ou pour x assez grand (on dira que f est définie au voisinage de l'infini). Par exemple, l'application :

transforme les voisinages à droite de a en les voisinages de l'infini et, par suite, on peut,[...]